Ta có:S=12bc.sinA và a2=b2+c2−2bc.cosA (định lí cosin)
Do đó:
S=a2−(b−c)2
⇔12bc.sinA=b2+c2−2bc.cosA−b2−c2+2bc
⇔12bc.sinA=2bc(1−cosA)
⇔sinA=4(1−cosA)
Mà ta có cos2A=1−sin2A
⇔cos2A=1−16(1−2cosA+cos2A)
⇔17cos2A−32cosA+15=0
⇔cosA=1(loại vì 0<A<180) và cosA=1517
với cosA=1517 suy ra A nằm ở góc phần tư thứ nhất, do đó sinA>0
Ta có cos2A+sin2A=1 Suy ra sinA=817
Mà tanA=sinAcosA=815 (điều cần chứng minh)