Hiển nhiên ta có một mệnh đề đúng là.Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì $\frac{a+c}{b+b}=\frac{c}{d}$
Vậy áp dụng vào ta có:
$\frac{sinA+sinB+sinC}{sin2A+sin2B+sin2C}=\frac{sinC}{sin2C}=\frac{1}{2cosC} (*)$
Mà $sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$
$sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$
Vậy $(*)\Leftrightarrow \frac{4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}{4sinAsinBsinC}=\frac{1}{2cosC}$
$cosC=4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Mà ta lại có $cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Vậy $cosA+cosB=1(đpcm)$