$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{2}-\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x=y+2-4\sqrt{y}$
$x,y,2 \in Q \Rightarrow \sqrt{y} \in Q$
Ta sẽ cm bổ đề sau : Nếu số tự nhiên $a$ là số chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỷ
Gỉa sử $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
$\sqrt{a}=\frac{m}{n} $ với $m,n \in N, n \neq 0, (m,n)=1$
Ta có $m^2=a.n^2 \Rightarrow m^2$ \ $n^2$
Do $a$ không là số chính phương nên $\frac{m}{n}$ không là số tự nhiên $\Rightarrow n >1$
Gọi $p$ là ước sô nguyên tố nguyên tố nào đó của $n \Rightarrow m^2 \setminus p \Rightarrow m \setminus p$. Như vậy $p$ là ước nguyên tố của $m,n$ trái với $(m,n)=1$
Vậy $\sqrt{a}$ là số vô tỷ
Theo đề, $\sqrt{y} \in Q \Rightarrow y$ là số chính phương $\Rightarrow y=m^2$
Tương tự, $x=n^2$
Ta có $m+n=\sqrt{2}, $ mà $m,n \in N \Rightarrow m=0$ hoặc $n=0$
Vậy ta có các cặp số $(x,y)=(0,2) , (2,0)$