√x+√y=√2
⇔√x=√2−√y
⇔x=y+2−4√y
x,y,2∈Q⇒√y∈Q
Ta sẽ cm bổ đề sau : Nếu số tự nhiên a là số chính phương thì √a là số vô tỷ
Gỉa sử √a là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
√a=mn với m,n∈N,n≠0,(m,n)=1
Ta có m2=a.n2⇒m2 \ n2
Do a không là số chính phương nên mn không là số tự nhiên ⇒n>1
Gọi p là ước sô nguyên tố nguyên tố nào đó của n⇒m2∖p⇒m∖p. Như vậy p là ước nguyên tố của m,n trái với (m,n)=1
Vậy √a là số vô tỷ
Theo đề, √y∈Q⇒y là số chính phương ⇒y=m2
Tương tự, x=n2
Ta có m+n=√2, mà m,n∈N⇒m=0 hoặc n=0
Vậy ta có các cặp số (x,y)=(0,2),(2,0)