$2a\le a^2+1$$\Rightarrow a^2+2a+1\le 2(a^2+1)$
$\Rightarrow (a+1)^2\le 2(a^2+1)$
$\Rightarrow \frac{a+1}{\sqrt{a^2+1}}\le \sqrt2$
$P=(\frac{a+1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b+1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c+1}{\sqrt{c^2+1}})+(a+b+c)$
$P\le 3\sqrt2+3$
Dấu bằng có $\Leftrightarrow a=b=c=1$