giai giup m voi

Question

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ .CM BDT :

$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$

Bạn xem lại hai số hạng cuối nhé , mẫu số giống nhau kìa

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 6/16/2013 10:07:28 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Do

$abc=1$ nên tồn tại các số

$x,y,z >0$ sao cho

$a= \frac{x}{y}, b= \frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}.$ Suy ra

$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca} = \frac{\frac{y}{z}}{1+\frac{x}{z}}+\frac{\frac{z}{x}}{1+\frac{y}{x}}+\frac{\frac{x}{y}}{1+\frac{z}{y}}=\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}$ .
Công việc còn lại hoàn thành là điều không khó.

Trả lời 16-06-13 10:07 AM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 16-06-13 10:14 AM

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 2 · 6/16/2013 10:28:19 AM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Đặt

$a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z} , c=\frac{z}{x}$

$\frac{b}{1+ab}=\frac{\frac{y}{z}}{1+\frac{x}{z}}=\frac{y}{x+z}$

Tương tự cho hai số còn lại , ta có

$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge \frac{3}{2}$

Đây là một BĐT quen thuộc sử dụng BĐT Bunhia-copski

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$

$=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}$

$\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}\ge \frac{3}{2}$

Trả lời 16-06-13 10:28 AM

GreenmjlkTea FeelingTea
13K 1 26 12

277K 282K

1

ban cho minh hoi co y tuong gi de ta dat a=x/y nhu vay? – huongtrau_buffalow 17-06-13 08:23 AM

bigrockerman10121012 · Answer 3 · 6/17/2013 8:30:00 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

CM:

$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}. ta có \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+z}+\frac{x+z}{x+y}\geq 3(1), và \frac{x+z}{y+z}+\frac{y+x}{x+z}+\frac{z+y}{x+y}\geq 3(2)- BDT côsi cho 3 số ko âm. cộng (1) và (2): \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\geq 6\Leftrightarrow 2P+3\geq 6\Leftrightarrow P\geq \frac{3}{2}. trong đó a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$

Trả lời 17-06-13 08:30 PM

bigrockerman10121012
168 1 4

20K 14K