Đặt $a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z} , c=\frac{z}{x}$$\frac{b}{1+ab}=\frac{\frac{y}{z}}{1+\frac{x}{z}}=\frac{y}{x+z}$
Tương tự cho hai số còn lại , ta có
$\frac{b}{1+ab}+\frac{c}{1+bc}+\frac{a}{1+ca}=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge \frac{3}{2}$
Đây là một BĐT quen thuộc sử dụng BĐT Bunhia-copski
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$
$=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}$
$\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}\ge \frac{3}{2}$