\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-cosx}{x^2}
=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}+\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2}
Ta sẽ tính từng giới hạn này
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\frac{1+x^2-1}{\sqrt{1+x^2}+1}}{x^2}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+1}=\frac{1}{2}
Vì khi x\rightarrow 0 , \sqrt{1+x^2}\rightarrow 1
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1-cos^2x}{x^2(1+cosx)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{1}{1+cosx}=\frac{1}{2}
Theo giới hạn cơ bản \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1 và khi x\rightarrow 0 , 1+cosx\rightarrow 2
Kết hợp hai giới hạn này ta có
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-cosx}{x^2}=1