$\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt2}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge \frac{a^2+b^2+2ab}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$ Luôn đúng với mọi $a,b$
Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta có
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge \frac{2(a+b+c)}{\sqrt2}=\sqrt2$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$