Nguyên hàm

Question

$\int\limits\frac{dx}{x^{4023}-7x^{2012}}$

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 6/3/2013 1:02:32 PM

Đầu tiên ta sử dụng phương pháp đổi biến tích phân

$f(x)=\frac{1}{x^{4013}-7x^{2012}}=\frac{1}{x^{2012}.({x^{2011}-7})}=\frac{x^{2010}}{x^{2022}.(x^{2011}-7)}$

Đặt

$x^{2011}=u \Rightarrow du=2011.x^{2010}\Rightarrow \int \frac{dx}{x^{4013}-7x^{2012}}=\int\frac{1}{2011}.\frac{du}{u^2(u-7)}$

Bây giờ ta tính

$\int\frac{du}{u^2(u-7)}$ bằng phương pháp hữu tỉ hóa

$\frac{1}{u^2(u-7)}=\frac{1}{7}.\frac{u-(u-7)}{u^2(u-7)}=\frac{1}{7}.(\frac{1}{u(u-7)}-\frac{1}{u^2})$

$=\frac{1}{7}(\frac{1}{7}(\frac{1}{u-7}-\frac{1}{u})-\frac{1}{u^2})=\frac{1}{49}.\frac{1}{u-7}-\frac{1}{49}.\frac{1}{u}-\frac{1}{7}\frac{1}{u^2}$

$\Rightarrow \int\frac{du}{u^2(u-7)}=\frac{1}{49}(ln|u-7|-ln|u|)+\frac{1}{7u}=\frac{1}{49}ln|1-\frac{7}{u}|+\frac{1}{7u}+C$

Vậy

$\int\frac{dx}{x^{4013}-7x^{2012}}=\frac{1}{2011}.(\frac{1}{49}.ln|1-\frac{7}{x^{2011}}|+\frac{1}{7x^{2011}})+C$

1 Đáp án