Ta có: $x^2+y^2-6x-4y+12=0 \Leftrightarrow (x-3)^2+(y-2)^2=1$
Suy ra $(C)$ có tâm $I(3;2)$ và bán kính $R=1$.
Giả sử $(T)$ có tâm $J$ và bán kính $r$.
Vì $(T)$ tiếp xúc với 2 trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với $(C)$ nên tọa độ $J$ có dạng $J(r;r)$ và:
$IJ=R+r \Leftrightarrow \sqrt{(r-3)^2+(r-2)^2}=1+r$
$\Leftrightarrow 2r^2-10r+13=r^2+2r+1$
$\Leftrightarrow r^2-12r+12=0$
$\Leftrightarrow r=6\pm2\sqrt6$, thỏa mãn.
Vậy phương trình các đường tròn cần tìm là:
$(T_1):(x-6+2\sqrt6)^2+(y-6+2\sqrt6)^2=(6-2\sqrt6)^2$
$(T_2):(x-6-2\sqrt6)^2+(y-6-2\sqrt6)^2=(6+2\sqrt6)^2$