Trong 3 số $x,y,z$ tồn tại 2 số đều không nhỏ hơn 1 hoặc đều không lớn hơn 1.
Giả sử là $x,y$. Khi đó ta có:
$(x-1)(y-1)\ge0$
$\Leftrightarrow 1+xy\ge x+y$
$\Leftrightarrow 2(1+xy)\ge(1+x)(1+y)$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{(1+x)(1+y)}\ge\dfrac{1}{1+xy}$
Ta có:
$VT\ge\dfrac{2}{(1+x)(1+y)}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$
$\ge\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$
$=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$
$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\ge\dfrac{3}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$