giai giúp mình đề toán này nha

Question

chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 thì

$\frac{1}{3^{a}} + \frac{1}{3^{b}} + \frac{1}{3^{c}} \geq 3(\frac{a}{3^{a}} + \frac{b}{3^{b}} + \frac{c}{3^{c}})$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 5/19/2013 11:00:22 PM

Em có thể xem thêm tại đây

Trả lời 19-05-13 11:00 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

khangnguyenthanh · Answer 2 · 5/19/2013 1:27:23 PM

Không mất tính tổng quát, giả sử:

$a\ge b\ge c \Rightarrow \dfrac{1}{3^a}\le\dfrac{1}{3^b}\le\dfrac{1}{3^c}$ .

Ta có:

$(a-b)(\dfrac{1}{3^a}-\dfrac{1}{3^b})\le0 \Leftrightarrow \dfrac{a}{3^a}+\dfrac{b}{3^b}\le\dfrac{b}{3^a}+\dfrac{a}{3^b}$

$(a-c)(\dfrac{1}{3^a}-\dfrac{1}{3^c})\le0 \Leftrightarrow \dfrac{a}{3^a}+\dfrac{c}{3^c}\le\dfrac{c}{3^a}+\dfrac{a}{3^c}$

$(b-c)(\dfrac{1}{3^b}-\dfrac{1}{3^c})\le0 \Leftrightarrow \dfrac{b}{3^b}+\dfrac{c}{3^c}\le\dfrac{b}{3^c}+\dfrac{c}{3^b}$

Cộng 3 BĐT trên lại ta được:

$2(\dfrac{a}{3^a}+\dfrac{b}{3^b}+\dfrac{c}{3^c})\le\dfrac{b}{3^a}+\dfrac{a}{3^b}+\dfrac{c}{3^a}+\dfrac{a}{3^c}+\dfrac{b}{3^c}+\dfrac{c}{3^b}$

$\Leftrightarrow 3(\dfrac{a}{3^a}+\dfrac{b}{3^b}+\dfrac{c}{3^c})\le(a+b+c)(\dfrac{1}{3^a}+\dfrac{1}{3^b}+\dfrac{1}{3^c})$

$\Leftrightarrow 3(\dfrac{a}{3^a}+\dfrac{b}{3^b}+\dfrac{c}{3^c})\le\dfrac{1}{3^a}+\dfrac{1}{3^b}+\dfrac{1}{3^c}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Oh. Neu ma dung ngay Chebychev vs hai day don dieu ngc chieu cung dk nhi????????

2 Đáp án