Hình học không gian

* Gọi H là giao điểm của DM và AC, O là tâm của hình vuông ABCD.

$(SDM) \cap (SAC) = SH$

Suy ra: SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.

* Ta có:

$BD \bot OH, BD \bot SH \Rightarrow BD \bot SO$

$\Rightarrow ((SBD),(ABCD)) = SOH = 60^\circ$

* H là trọng tâm của tam giác ABD nên $OH = \frac{1}{3}AO = \frac{1}{6}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}$

$\Rightarrow SH = OH\tan 60^\circ  = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$

$\Rightarrow V = \frac{1}{3}{\rm{Bh}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{18}}$

* Trong (ABCD), kẻ DE song song với MC ($E \in AB$), qua H kẻ $IK \bot DE (I \in MC, K \in DE)$, qua M kẻ $MN \bot DE (N \in DE)$.

Trong (SIK), kẻ $IP \bot SK (P \in SK)$.

Do $IK \bot DE, SH \bot DE \Rightarrow  DE \bot (SIK) \Rightarrow   DE \bot IP$

Từ đây suy ra $IP \bot (SDE)$

$\Rightarrow d(SD,MC) = d(MC,(SDE)) = d(I,(SCDE)) = IP$

* $IK = MN = \frac{{AD.ME}}{{DE}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$

$\frac{{HK}}{{HI}} = \frac{{HD}}{{HM}} = 2 \Rightarrow KH = \frac{{4a}}{{3\sqrt 5 }}$

$SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}}  = \frac{{a\sqrt {47} }}{{3\sqrt {10} }}$

$IP = \frac{{SH.IK}}{{SK}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {47} }}$

Vậy khoảng cách giữa SD và CM bằng $\frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {47} }}$