Giả sử tồn tại $a,b$ sao cho với mọi $n$ thì $f(n)=n^3+an^2+bn+2009$ là số chính phương.Khi đó:
$f(1)=2010+a+b;$$f(2)=2017+4a+2b;$$f(3)=2036+9a+3b;$$f(4)=2073+16a+4b$ đều là các só chính phương.
Ta có:
$f(4)-f(2)=56+12a+2b\equiv 2b\;(mod \;4)$, mà hiệu 2 số chính phương chỉ có thể chia $4$ dư $0;1;-1.$ Suy ra: $2b\equiv 0\;(mod \;4)$
Mà $f(3)-f(1)=26+8a+2b\equiv 2b+2\equiv 2\;(mod \;4)$, vô lý.
Vậy với mọi $a,b$ thì luôn tồn tại $n$ để $f(n)=n^3+an^2+bn+2009$ không là số chính phương.