Giả sử tồn tại a,b sao cho với mọi n thì f(n)=n3+an2+bn+2009 là số chính phương.Khi đó:
f(1)=2010+a+b;f(2)=2017+4a+2b;f(3)=2036+9a+3b;f(4)=2073+16a+4b đều là các só chính phương.
Ta có:
f(4)−f(2)=56+12a+2b≡2b(mod4), mà hiệu 2 số chính phương chỉ có thể chia 4 dư 0;1;−1. Suy ra: 2b≡0(mod4)
Mà f(3)−f(1)=26+8a+2b≡2b+2≡2(mod4), vô lý.
Vậy với mọi a,b thì luôn tồn tại n để f(n)=n3+an2+bn+2009 không là số chính phương.