Gọi $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4)$ lần lượt là nửa đường tròn đường kính $AB,BC,CD,DA$ dựng vào phía bên trong tứ giác.Giả sử $O$ nằm ngoài $(C_i),\forall i$, suy ra:
$\angle AOB<90^o,\angle BOC<90^o, \angle COD<90^o, \angle DOA<90^o$
$\Rightarrow \angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle DOA<360^o$, vô lý.
Suy ra $O$ nằm bên trong nửa đường tròn nào đó, giả sử là $(C_1)$.
Khi đó ta có: $\angle AOB\ge90^o$
$\Rightarrow OA^2+OB^2\le AB^2<16 \Rightarrow \min\{OA,OB\}<2\sqrt2$
$\Rightarrow \min\{OA,OB,OC,OD\}\le\min\{OA,OB\}<2\sqrt2<3.$