Chứng minh HÌNH ĐA DIỆN LỒI

Question

Chứng minh rằng: Trong một hình đa điện lồi, bao giờ cũng có ít nhất một mặt là hình tam giác hoặc một đỉnh là đỉnh của góc tam diện.

khangnguyenthanh · Answer 1 · 5/11/2013 5:43:23 PM

Gọi

$v_i(i\ge3)$ là số đỉnh có

$i$ đỉnh xuất phát từ nó,

$v=\sum_{i=3}^{+\infty} v_i$ .

Gọi

$f_i(i\ge3$ là số mặt có

$i$ cạnh,

$f=\sum_{i=3}^{+\infty}f_i$ .

Gọi

$e$ là số cạnh của đa diện, thao công thức Euler ta có:

$v+f-e=2$ .

Giả sử phản chứng rằng:

$v_3=0,f_3=0$ .

Ta có:

Mỗi cạnh là cạnh chung của 2 mặt nên:

$2e=\sum_{i=4}^{+\infty}if_i\ge4\sum_{i=1}^{+\infty}f_i=4f$ .

Mỗi cạnh có 2 đỉnh nên:

$2e=\sum_{i=4}^{+\infty}iv_i\ge4\sum_{i=4}^{+\infty}v_i=4v$

Khi đó:

$2e\ge4v=4(2+e-f)=8+4e-4f\ge8+2e$ , vô lý.

Vậy đa diện phải có ít nhất một mặt tam giác hoặc một đỉnh là đỉnh của góc tam diện.

1 Đáp án