Đặt
$f(x) = a{x^2} + bx + c$
Ta
có: $2a + 6b + 19c = 0 \Leftrightarrow c =
- \frac{{2a + 6b}}{{19}}$
$f(0) = c =
\frac{{ - 2a - 6b}}{{19}}$
$f(\frac{1}{3}) =
\frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b + c = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b - \frac{{2a +
6b}}{{19}} = \frac{{a + 3b}}{{171}}$
$\Rightarrow
f(0).f(3) = \frac{-2}{{3249}}{(a +
3b)^2}$
* TH1: $a + 3b =
0$. Do $2a + 6b + 19c = 0$. Suy ra: $c = 0$.
Phương trình có
nghiệm $x = 0 \in {\rm{[0;}}\frac{1}{3}{\rm{]}}$
*
TH2: $a + 3b \ne 0 \Rightarrow f(0).f(3) = \frac{-2}{{3249}}{(a + 3b)^2} < 0$
Mà
f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên đoạn ${\rm{[0;}}\frac{1}{3}{\rm{]}}$
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {{\rm{0;}}\frac{1}{3}} \right) \subset \left[ {{\rm{0;}}\frac{1}{3}} \right]$
Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm trên đoạn ${\rm{[0;}}\frac{1}{3}{\rm{]}}$ .