Hệ phương trình

Question

Cho (x; y; z) là nhiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} x = y(4-y)\\y = z(4-z)\\ z = x(4-x) \end{array} \right.$
Có nghiệm nguyên

quangtien1428 · Answer 1 · 1/29/2013 11:35:36 PM

Cộng theo vế hệ phương trình, chuyển vế ta có

$\Leftrightarrow x^2-3x+y^2-3y+z^2-3z=0$

$\Leftrightarrow x^2-3x+\frac{9}{4}+y^2-3y+\frac{9}{4}+z^2-3z+\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2+(z-\frac{3}{2})^2 = \frac{27}{4}$

$\Leftrightarrow (2x-3)^2+(2y-3)^2+(2z-3)^2=27$
Thấy rõ

$(2x-3)^2 \leq 27$ mặt khác x lại là số nguyên nên:

$-1 \leq x \leq 4$
Tương tự ta cũng có

$-1 \leq y \leq 4$ và

$-1 \leq z \leq 4$
Với x=-1, suy ra z=x(4-x)=-5 loại
Với x=0, suy ra z=x(4-x) =0, y=z(4-z)=0 nhận
Với x=1, suy ra z=x(4-x) =3, y=z(4-z)=3 loại do x=y(4-y)=3 không thỏa x=1
Với x=2, suy ra z=x(4-x) =4, y=z(4-z)=0 loại do x=y(4-y)=0 không thỏa x=2
Với x=3, suy ra z=x(4-x) =3, y=z(4-z)=3 nhận
Với x=4, suy ra z=x(4-x) =0, y=z(4-z)=0 do x=y(4-y)=0 không thỏa x=4
Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên là:
x=y=z=0 hoặc x=y=z=3