gọi công thức tổng quát của cấp số cộng là an=a1+(n−1)d (*)
khi đó:
Sn=a1+a2+⋯+an=n(a1+an)2=n[2a1+(n−1)d]2
chứng minh:
Sn=a1+a1+d+a1+2d+…⋯+a1+(n−2)d+a1+(n−1)d
Sn=an−(n−1)d+an−(n−2)d+…⋯+an−2d+an−d+an
2Sn=n(a1+an)
Sn=n(a1+an)2. (1)
Sn=n(2a1+(n−1)d)2 (2)
Trở lại bài:
1.Sm=Sn,∀m,n
Theo công thức (1) thì an=am,∀m,n
Mà S1=S2 nên a1=a1+a2=2a1
nên a1=0
Vậy Sk=0,∀k (ĐPCM)
2.SmSn=m2n2
Kết hợp với (1)
Ta suy ra a1+ama1+an=mn
Suy ra nam−man=(m−n)a1
Kết hợp với (*) suy ra na1−ma1+d(n(m−1)−m(n−1))=(m−n)a1
Vậy a1=2d
Thay vào công thức (*) ta có : an=(2n−1)a1
Từ đó anam=2n−12m−1 (ĐPCM)