ĐK cần:
Giả sử $a$ là giá trị thỏa mãn:
\[ a.2^{x+1}+(2a+1)(3-\sqrt{5})^x+(3+\sqrt{5})^x<0,\forall
x\leq 0. \]
Cho $x=0$ ta có $2a+1<0$ hay $a<-\frac{1}{2}$.
ĐK đủ:
Xét trường hợp $a<-\frac{1}{2}$ và để cho gọn, đặt $\frac{3-\sqrt{5}}{2}=u,
\frac{3+\sqrt{5}}{2}=v$ thì $0<u<1<v$ và $uv=1$.
Xét hàm số $f(x)=2a+(2a+1)u^x+v^x$ trên $(-\infty ,0)$.
Ta có $f’(x)=(2a+1)u^x\ln u+v^x\ln v=(2a+1)u^x\ln u-v^x\ln v=\ln
u((2a+1)u^x-v^x).$
Vì $u<1$ nên $\ln u<0$ và $2a+1<0$ nên $f’(x)>0,\forall
x\leq 0$.
Khi đó $f(x)<f(0)=2(2a+1)<0,\forall x\leq 0$ (thỏa mãn
bài toán).
Vậy $a<-\frac{1}{2}$ là kết quả cần tìm.