Góp vui 1 bài

Question

Chứng minh rằng :

$\sum\limits_{k=1}^{n} {\frac {1} {k(k+1).2^{k} }} < 1 -\ln2, \forall n \in N$

Bạn nên sử dụng tính năng tìm kiếm trong thư viện có hay k rồi mới hỏi nhá.

khangnguyenthanh · Answer 1 · 10/9/2012 11:51:23 PM

Ta có :

$1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{1-x^n}{1-x}< \frac{1}{1-x}, \forall x \in (0;1)$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{y}( 1 + x + x^2 + ... + x^n)dx < \int\limits_{0}^{y}\frac{dx}{1-x}, \forall y \in (0;1)$

$\Rightarrow y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} +...+ \frac{y^n}{n} < - \ln (1-y), \forall y \in (0;1)$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{z} \left ( y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} +...+\frac{y^n}{n} \right )dy < - \int\limits_{0}^{z}\ln (1-y)dy$

$\Rightarrow \frac{z^2}{1.2}+\frac{z^3}{2.3}+\frac{z^4}{3.4}+...+\frac{z^{n+1}}{n(n+1)} <(1-z).\ln (1-z)+z, \forall z \in (0;1).$

Chọn

$z = \frac{1}{2} ,$ ta có ngay :

$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k(k+1)}.\frac{1}{2^{k+1}} < \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k(k+1)}.\frac{1}{2^k} < 1 - \ln 2$

Hỏi	09-10-12 11:42 PM
Lượt xem	1407
Hoạt động	09-10-12 11:51 PM

Góp vui 1 bài

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Góp vui 1 bài

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan