Phương trình tổ hợp

Question

Tìm $n \in N$, biết rằng:

1) $C^2_{n+1}+2C^2_{n+2}+2C^2_{n+3}+C^2_{n+4}=149$

2) $C^0_{2n}+3^2C^2_{2n}+3^4C^4_{2n}+...+3^{2n}C^{2n}_{2n}=2080$

3) $\frac{A^0_n}{0!}+\frac{A^1_n}{1!}+...+\frac{A^n_n}{n!}=4096$

4) $nC^0_n+(n-1)C^1_n+(n-2)C^2_n+...+C^{n-1}_n=1024$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 10/7/2012 6:37:37 PM

4)
Ta có: $\sum_{i=1}^niC_n^{n-i}=\sum_{i=1}^niC_n^i$
Lại có: $(x+1)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^i$
Đạo hàm 2 vế: $n(x+1)^{n-1}=\sum_{i=1}^niC_n^ix^{i-1}$
Thay $x=1$ ta được: $ \sum_{i=1}^niC_n^i =n.2^{n-1}$
Từ đó suy ra: $n.2^{n-1}=1024 \Leftrightarrow n=8$

Trả lời 07-10-12 06:37 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

mình cũng thấy dạng này hơi lằng nhằng :d – ngabumje 07-10-12 09:56 PM

những bài kiểu này sao mình kém thé nhở. Ai có cách giúp mình vượt lên đc không? – xedapoi1x 07-10-12 09:24 PM

anh khang thì vô đối rồi, vote nhanh – vulong 07-10-12 08:52 PM

anh khang dạo ni giải bài nhanh thế nhỉ, bài nào anh cũng giải dc, phục anh quá đấy – phaosa 07-10-12 08:17 PM

khangnguyenthanh · Answer 2 · 10/7/2012 6:32:50 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

3)
Ta có:
$\sum_{i=0}^n\frac{A_n^i}{i!}=\sum_{i=0}^nC_n^i$.
Mà:
$(x+1)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^i\Rightarrow \sum_{i=0}^nC_n^i=(1+1)^n=2^n$
Phương trình trở thành: $2^n=4096 \Leftrightarrow n=12$

Trả lời 07-10-12 06:32 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

khangnguyenthanh · Answer 3 · 10/7/2012 6:29:58 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

2)

Ta có:

$(x+1)^{2n}+(x-1)^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}C_{2n}^ix^i+ \sum_{i=0}^{2n}(-1)^{i}C_{2n}^ix^i $

$=2\sum_{i=0}^{n}C_{2n}^{2i}x^{2i} $

Thay $x=3$ ta được:

$2\sum_{i=0}^{n}3^{2i}C_{2n}^{2i}=4^{2n}+2^{2n}$

Từ đó, suy ra: $ 4^{2n}+2^{2n}=4160$
$\Leftrightarrow (4^n)^2+4^n-4160=0$
$\Leftrightarrow 4^n=64$, vì $4^n>0$
$\Leftrightarrow n=3$

Trả lời 07-10-12 06:29 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

khangnguyenthanh · Answer 4 · 10/7/2012 6:19:23 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

1)
Điều kiện: $n\ge 1$
Ta có:
$ C^2_{n+1}+2C^2_{n+2}+2C^2_{n+3}+C^2_{n+4}=149 $
$\Leftrightarrow \frac{(n+1)n}{2}+(n+2)(n+1)+(n+3)(n+2)+\frac{(n+4)(n+3)}{2}=149$
$\Leftrightarrow 3(n^2+4n-45)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n=5\\ n=-9 \end{array} \right.\Leftrightarrow n=5$, vì $n\ge1$

Trả lời 07-10-12 06:19 PM