Cùng thể loại liên quan đạo hàm

Question

Chứng minh rằng :
a)

$\tan \frac{x}{2} < \frac{2x^3}{3\pi^2 } +\frac{x}{2}, \forall x \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$
b)

$\cos x \leq 1 - \frac{x^2}{\pi }, \forall x \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ) .$
c)

$\sin x - x \cos x \leq \frac{x^3}{3}, \forall x \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$
d)

$1 + x \ln (x + \sqrt{1+x^2}) \geq \sqrt{1+x^2} , \forall x \in R$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 10/5/2012 8:18:55 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

c.
Bổ đề:

$\sin x<x,\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ .
Xét hàm:

$f(x)=\sin x-x\cos x-\frac{x^3}{3}, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Ta có:

$f'(x)=-x^2+x\sin x=x(\sin x-x)<0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow f(x)<f(0)=0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , đpcm.

Trả lời 05-10-12 08:18 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

khangnguyenthanh · Answer 2 · 10/5/2012 8:12:13 PM

b. Bổ đề:

$\sin x>\frac{2x}{\pi},\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ .
Thật vậy:
Xét hàm:

$f(x)=\frac{\sin x}{x}, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Ta có:

$f'(x)=\frac{x-\tan x}{x^2\cos x}$
Xét hàm:

$g(x)=x-\tan x, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Ta có:

$g'(x)=-\cos^2x<0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow g(x)<g(0)=0,\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Hay

$f'(x)<0 \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow f(x)>f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , bổ đề được chứng minh.

Xét hàm:

$h(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{\pi}, x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
Ta có:

$h'(x)=-\sin x+\frac{2x}{\pi}<0, \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow h(x)>h(0)=0$ , đpcm.

khangnguyenthanh · Answer 3 · 10/5/2012 7:55:50 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

a.
Bổ đề:

$\cos x>1-\frac{x^2}{2},\forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)$
Xét

$f(x)= \tan \frac{x}{2}-\frac{2x^3}{3\pi^2 }-\frac{x}{2},x \in\left ( 0;\frac{\pi}{2}\right )$
Ta có:

$f'(x)= \frac{1}{\displaystyle 2\cos^2\frac{x}{2}}-\frac{2x^2}{\pi^2 }-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow f'(x)<\frac{1}{\displaystyle 2\left (1-\frac{x^2}{8}\right)^2}-\frac{2x^2}{\pi^2 }-\frac{1}{2}<0,\forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)$
Suy ra:

$f(x)<f(0)=0, \forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)$

Trả lời 05-10-12 07:55 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

khiếp bác này hỏi phát 4 câu. từ từ. cho a e hỏi với chứ =)) – onlyone1112 05-10-12 11:03 PM

Chắc chắn đúng,mềnh kiểm tra rồi :D – nguyenphuc423 05-10-12 09:44 PM

Gớm làm gì mà giải nhanh thế,chưa kiểm tra kỹ đâu nha – conuonglinh 05-10-12 08:42 PM

khangnguyenthanh · Answer 4 · 10/6/2012 11:03:17 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

d)

Trả lời 06-10-12 11:03 AM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks – khangnguyenthanh 29-10-12 08:50 AM