Cho em hỏi bài này

Question

Chứng minh rằng :

$\frac{2}{3} < \frac{1}{\sqrt{n^3} }\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k } < \frac{2}{3}\sqrt{\left ( \frac{n+1}{n} \right )^3 }- \frac{2}{3\sqrt{n^3} }, \forall n \in N$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 10/5/2012 6:33:31 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Xét hàm:

$f(x)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3},x\ge1$ .

Theo định lý Lagrange trên đoạn

$[n,n+1]$ tồn tại số

$c\in(n,n+1)$ sao cho:

$f(n+1)-f(n)=f'(c)=\sqrt c$

Suy ra:

$\sqrt n<f(n+1)-f(n)<\sqrt{n+1},\forall n\ge1$ .

Từ đó suy ra:

$\sum_{k=1}^n\sqrt k<\sum_{k=1}^n(f(k+1)-f(k))=f(n+1)-f(1)=\frac{2}{3}\sqrt{(n+1)^3}-\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n^3} }\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k } < \frac{2}{3}\sqrt{\left ( \frac{n+1}{n} \right )^3 }- \frac{2}{3\sqrt{n^3} }$

Lại có:

$\sum_{k=1}^n\sqrt k=1+ \sum_{k=2}^n\sqrt k>1+\sum_{k=1}^{n-1}(f(k+1)-f(k))=1+f(n)-f(1)>\frac{2}{3}\sqrt{n^3}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n^3} }\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k }>\frac{2}{3}$

Trả lời 05-10-12 06:33 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

Nhìn thấy xích ma kiểu này mình rất ghét,nhưng vẫn vote cho a.Khang nhé – nguyenphuc423 05-10-12 09:45 PM

Thi đại học thì k được dùng nên yên tâm bài này không thi đại học được đâu. – khangnguyenthanh 05-10-12 06:38 PM

Bài này trình độ khá cao,nhưng không biết thi đại học có đc sử dụng định lý Lagrang ko vậy bạn? – conuonglinh 05-10-12 06:36 PM

Hỏi	05-10-12 05:58 PM
Lượt xem	1989
Hoạt động	05-10-12 06:33 PM

Cho em hỏi bài này

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cho em hỏi bài này

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan