TXĐ: R∖{−1}.
Ta có 2 đương tiệm cận của đồ thị hàm số là: (d1):x=−1, (d2):y=2.
Giao điểm của 2 đương tiệm cận là: I(−1;2)
Giả sử tiếp tuyến (d) cần tìm là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(a,2a−1a+1)(a≠−1).
Ta có: y′=3(x+1)2 .
Phương trình (d) là: y=3(a+1)2(x−a)+2a−1a+1⇔3x−(a+1)2y+(2a2−2a−1)=0
(d) cắt (d1) tại A(−1,2(a−2)a+1)
(d) cắt (d2) tại B(2a+1,2)
Ta có: IA=|2(a−2)a+1−2|=|6a+1|
IB=|2a+1−(−1)|=2|a+1|
Vì △IAB vuông tại I nên:
IA+IB+AB=IA+IB+√IA2+IB2
≥2√IA.IB+√2.IA.IB=2√6+√12=√3(2+2√2)
Vậy Min(IA+IB+AB)=√3(2+2√2)⇔IA=IB⇔a=−1±2√3
Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: x−4y−7±4√3=0