BĐT Lượng Giác

Question

Cho

$m,n,p \in \mathbb{R}$ Chứng minh :

$\sin m \sin n \sin p+\cos m \cos n \cos p$

$\leq 1$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 9/26/2012 10:56:59 PM

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau
Cho

$a, b, c, x, y, z$ là các số thực dương thì ta có

$abc+xyz \le \sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} (*)$
Thật vậy,
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta được

$\displaystyle{\frac{3abc}{\sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} }=3.\frac{a}{\sqrt[3]{a^3+x^3}}.\frac{b}{\sqrt[3]{b^3+y^3}}.\frac{c}{\sqrt[3]{c^3+z^3}} \le\frac{a^3}{a^3+x^3} +\frac{b^3}{b^3+y^3}+\frac{c^3}{c^3+z^3}}$

$\displaystyle{\frac{3xyz}{\sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} }=3.\frac{x}{\sqrt[3]{a^3+x^3}}.\frac{y}{\sqrt[3]{b^3+y^3}}.\frac{z}{\sqrt[3]{c^3+z^3}} \le\frac{x^3}{a^3+x^3} +\frac{y^3}{b^3+y^3}+\frac{z^3}{c^3+z^3}}$
Cộng theo từng vế của hai BDDT trên ta được

$\displaystyle{\frac{3(abc+xyz)}{\sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} } \le 3}$
Từ đây suy ra BĐT

$(*)$ được chứng minh.

Đặt

$a=|\sin m|, x=|\cos m|,b=|\sin n|, y=|\cos n|,c=|\sin p|, z=|\cos p|$ .
Ta thấy rằng

$0 \le a,b,c,x,y,z \le 1$ nên

$0 \le a^3+x^3,b^3+y^3,z^3+c^3 \le 1$ .
Chẳng hạn

$0 \le a^3+x^3 \le a^2+x^2 =1$ .
Sử dụng điều trên và áp dụng BĐT

$(*)$ ta có

$\sin m \sin n \sin p + \cos m \cos n \cos p \le abc+xyz \le \sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} \le 1$ . ĐPCM.

Cảm ơn anh Tân,em cứ tưởng mai mới có lời giải :))
Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác nhé. Thanks!
Đây là một trang học tại nhà online thật hay, đặc điểm ưu việt về tìm kiếm thông minh, thư viện bài tập thật lớn, hởi đáp kịp thời và đặc biệt hỗ trợ thêm cả giao lưu, trao đổi, kết bạn để có một cộng đồng cùng học tập!