|
1/ Do vai trò bình đẳng của A,B,C nên có thể giả sử : Khi đó dĩ nhiên B,C∈(0,π3) Xét hàm số : f(x)=tgx với 0<x<π2 f′(x)=1cos2x⇒f″ Như thế f(x) là hàm lồi trên (0,\frac{\pi }{3}).Theo bất đẳng thức Jensen , ta có : tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge 2tg\frac{{B + C}}{4} \Rightarrow tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge 2tg(\frac{\pi }{4} - \frac{A}{4}) \Rightarrow tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge \frac{{2(1 - tg\frac{A}{4})}}{{1 + tg\frac{A}{4}}} (1) Dấu “=” xảy ra khi B=C Từ (1) suy ra : tg\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge \frac{{2tg\frac{A}{4}}}{{1 - t{g^2}\frac{A}{4}}} + \frac{{2(1 - tg\frac{A}{4})}}{{1 + tg\frac{A}{4}}} \Leftrightarrow tg\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge \frac{{2(t{g^2}\frac{A}{4} - tg\frac{A}{4} + 1)}}{{1 - t{g^2}\frac{A}{4}}} (2) Dấu “=” trong (2) xảy ra khi dấu “=” trong (1) xảy ra,tức B=C Do \frac{{2\pi }}{3} \le A < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{6} \le \frac{A}{4} < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le tg\frac{A}{4} < 1 Xét hàm só g(x) = \frac{{2({x^2} - x + 1)}}{{1 - {x^2}}} với \frac{{\sqrt 3 }}{3} < x < 1 g'(x) = \frac{{ - 2{x^2} + 8x - 2}}{{{{(1 - {x^2})}^2}}} Theo bảng biến thiên ta có g(x) \ge g(\frac{{\sqrt 3 }}{3})\forall \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le x < 1 \Rightarrow g(x) \ge 4 - \sqrt 3 (3) Dấu “=” xảy ra khi x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} Từ (2)(3) ta có tg\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge 4 - \sqrt 3 (4) Dấu “=” trong (4) xảy ra khi có dấu “=” trong (2) và (3),tức : \left\{ \begin{array}{l} B = C\\ tg\frac{A}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B = C\\ A = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. Ta có dpcm 2/ Xét pt : \sin 2x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = \frac{1}{2} (*) Dễ thấy (*) tương đương (2\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0 \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \end{array} \right.(k \in Z)\\ \end{array} Vì A,B,C là 3 góc trong 1 tam giác ,lại thỏa mãn (*) nên A,B,C \in (\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{5\pi }}{6}) Vì A + B + C = \pi nên suy ra trong 3 góc A,B,C có 2 góc =\frac{\pi }{6},1 góc =\frac{{2\pi }}{3} Ta có dpcm
|
|
Trả lời 27-06-12 10:05 PM
|
|