Giải hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} \cos 2x+\cos 2y+\frac{4\cos x}{2+\cos 2x-\cos 2y}=\frac{1+\sqrt3}{2}\\ \cos x\sin y- \frac{\sin y}{2+\cos 2x-\cos 2y}=\frac{\sqrt3-1}{2} \end{array} \right.$

Hệ phương trình lượng giác

Giải hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} \cos 2x+\cos 2y+\frac{4\cos x}{2+\cos 2x-\cos 2y}=1+\sqrt3\\ \cos x\sin y- \frac{\sin y}{2+\cos 2x-\cos 2y}=\frac{\sqrt3-1}{4} \end{array} \right.$

Hệ phương trình lượng giác

Chứng minh giúp mình bài này

Cho $a, b, c$ thoả mãn $|a|+|b|+|c|>17$. Chứng minh rằng hệ $\begin{cases}|ax^2+bx+c|>1\\0\leq x\leq 1\end{cases} $ có nghiệm

Tính đơn điệu của hàm số

Chứng minh hệ bất phương trình có nghiệm

Cho $a, b, c$ thoả mãn $|a|+|b|+|c|>17$. Chứng minh rằng hệ $\begin{cases}|ax^2+bx+c|>1\\0\leq x\leq 1\end{cases} $ có nghiệm

Hệ bất phương trình

Chứng minh giúp mình bài này

Cho $a, b, c$ thoả mãn $|a|+|b|+|c|>17$. Chứng minh rằng hệ $\begin{cases}|ax^2+bx+c|>1\\0\leq x\leq 1\end{cases} $

Tính đơn điệu của hàm số

Chứng minh giúp mình bài này

Cho $a, b, c$ thoả mãn $|a|+|b|+|c|>17$. Chứng minh rằng hệ $\begin{cases}|ax^2+bx+c|>1\\0\leq x\leq 1\end{cases} $ có nghiệm

Tính đơn điệu của hàm số

ai chỉ mình với !

Cho hàm số $\frac{x^2}{x-1} (C)$a) Tìm trên đồ thị $(C) 2$ điểm A, B đối xứng nhau qua $M(0;3)$b) Tìm trên đồ thị $(C) 2$ điểm F, F đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x=1$

Tiệm cận ngang

ai chỉ mình với !

Cho hàm số $y=\frac{x^2}{x-1} (C)$a) Tìm trên đồ thị $(C) 2$ điểm A, B đối xứng nhau qua $M(0;3)$b) Tìm trên đồ thị $(C) 2$ điểm F, F đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x=1$

Tiệm cận ngang

hàm số bậc 2

Tim GTLN, GTNN của hàm số sau: $y = \begin{cases}2x+3 x \in (-\infty;-2) \\ x^2+2x-1 x \in [-2;+\infty) \end{cases}$ trên các tập hợp:$1) (3;1) 2) [-3;1] 3) [-3) 4) (-3;1]$

Cực trị của hàm số

hàm số bậc 2

Tim GTLN, GTNN của hàm số sau: $y = \begin{cases}2x+3 x \in (-\infty;-2) \\ x^2+2x-1 x \in [-2;+\infty) \end{cases}$ trên các tập hợp:$1) (-3;1) 2) [-3;1] 3) [-3;1) 4) (-3;1]$

Cực trị của hàm số

bài này khó quá, có anh nào giúp em dc k?

xét hàm số có $F'(x)\leq 0$, chứng minh rằng $\frac{f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n)}{n}\leq f(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} ) $

Đạo hàm

bài này khó quá, có anh nào giúp em dc k?

xét hàm số có $f''(x)< 0$, chứng minh rằng $\frac{f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n)}{n}\leq f(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} ) $

Đạo hàm

Anh Tân giúp em bài này với, PT lượng giác chứa căn

2$\sqrt{3 \sin{x}} $ = $\frac { 3\tan { x } }{ 2\sqrt { \sin { x } } -1 } -\sqrt { 3 }$ (câu này làm được rồi nhưng chưa loại nghiệm theo điều kiện)

Các dạng phương trình...

PT lượng giác chứa căn

2$\sqrt{3 \sin{x}} $ = $\frac { 3\tan { x } }{ 2\sqrt { \sin { x } } -1 } -\sqrt { 3 }$ (câu này làm được rồi nhưng chưa loại nghiệm theo điều kiện)

Các dạng phương trình...

Giải giúp mình câu này

$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin(x-\frac{3\pi}{2} )}=4\sin (\frac{7\pi}{4}-x ) $

Phương trình lượng giác...

Phương trình lượng giác

$\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin(x-\frac{3\pi}{2} )}=4\sin (\frac{7\pi}{4}-x ) $

Phương trình lượng giác cơ bản

lớp 4

Tìm số có 4 chữ số . Nếu thêm số 1 vào bên trái số đó ta được một số gấp 9 lấn số cần tìm .

Áp dụng mệnh đề vào suy...

Tìm số tự nhiên

Tìm số có 4 chữ số . Nếu thêm số 1 vào bên trái số đó ta được một số gấp 9 lấn số cần tìm .

Phương trình

Phương trình tương đương với:$\sin x+\frac{1}{2}(\sin3x+\sin x)-\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 5x+\sin^3x)$$\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin x-2\sin^3x+\frac{1}{2}\sin 3x-\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 5x$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin 3x -\sqrt{3} \cos 3x=2\cos 5x $ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 3x -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x=\cos 5x $ $\Leftrightarrow \sin\Big(3x-\frac{\pi}{3}\Big)=\sin\Big(\frac{\pi}{2}- 5x\Big)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-5x+2k\pi\\ \frac{\pi}{3}-3x=5x+\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{5\pi}{48}+\frac{k}{4}\pi\\ x=\frac{-\pi}{48}-\frac{k}{4}\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})$

Phương trình tương đương với:$\sin x+\frac{1}{2}(\sin3x+\sin x)-\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 5x+\sin^3x)$$\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin x-2\sin^3x+\frac{1}{2}\sin 3x-\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 5x$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin 3x -\sqrt{3} \cos 3x=2\cos 5x $ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 3x -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x=\cos 5x $ $\Leftrightarrow \sin\Big(3x-\frac{\pi}{3}\Big)=\sin\Big(\frac{\pi}{2}- 5x\Big)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-5x+2k\pi\\3x- \frac{\pi}{3}=5x+\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{5\pi}{48}+\frac{k}{4}\pi\\ x=\frac{-5\pi}{12}-k\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z})$

Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên dung Cosi, hữu tỉ hóa $\sqrt[3]{a+7}$ qua BDT trung gian là xong Theo Cosi $3\sqrt[3]{a+7}.2.2\leq (a+7+8+8)$ suy raVT$\leq \frac{a+b+c+69}{12}$mà $a^4+1+1+1\geq 4a $(Cosi 4 số) từ đó suy ra $\frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{\frac{a^4+b^4+c^4+9}{4}+69}{12}$Ta cần chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}\leq 2(a^4+b^4+c^4)$ $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \geq 3 $ (1)Theo Cosi $a^4 +b^4 +b^4+b^4 \geq 4ab^2$ tương tự suy ra$4(a^4 +b^4 +c^4) \geq 4(ab^2 +bc^2 +ca^2) =12$ suy ra ĐPCM

Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên dung Cosi, hữu tỉ hóa $\sqrt[3]{a+7}$ qua BDT trung gian là xong Theo Cosi $3\sqrt[3]{a+7}.2.2\leq (a+7+8+8)$ suy raVT$\leq \frac{a+b+c+69}{12}$mà $a^4+1+1+1\geq 4a $(Cosi 4 số) từ đó suy ra $\frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{\frac{a^4+b^4+c^4+9}{4}+69}{12}$Ta cần chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}\leq 2(a^4+b^4+c^4)$ $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \geq 3 $ (1)Theo Cosi $a^4 +b^4 +b^4+1 \geq 4ab^2$ tương tự suy ra$3(a^4 +b^4 +c^4)+4 \geq 4(ab^2 +bc^2 +ca^2) =12$ suy ra ĐPCM

Vec-tơ pháp tuyến của $(P),(Q)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1,-1,2), \overrightarrow{n_Q}=(3,-1,1)$. Giả sử phương trình của $(R)$ là: $Ax+By+Cz+D=0,A^2+B^2+C^2>0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A(2,0,1)$ và vuông góc với $(Q)$ là: $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Suy ra $(d)$ nằm trên $(R)$, dẫn tới $B(-1,1,0)$ thuộc $(R)$. Từ đó: $ \left\{ \begin{array}{l} 2A+C+D=0 \\ -A+B+D=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} C=B-3A \\ D=A-B \end{array} \right. $ Dẫn tới: $(R): Ax+By+(B-3A)z+A-B=0$. Vec-tơ pháp tuyến của $(R)$ là: $\overrightarrow{n_R}=(A,B,B-3A)$. Vì $\angle ((P),(R))=60^o$ suy ra: $\frac{|1.A+(-1).B+2(B-3A)|}{\sqrt6 .\sqrt{A^2+B^2+(B-2A)^2}}=\frac{1}{2}$. $\Leftrightarrow \sqrt2 |B-5A|=\sqrt3 \sqrt{10A^2-6AB+2B^2} \Leftrightarrow 2(B^2-10AB+25A^2)=3(10A^2-6AB+2B^2)$ $\Leftrightarrow 2B^2+AB-10A^2=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B=2A\\ B=\frac{-5}{2}A \end{array} \right.$. Từ đó suy ra có 2 mặt phẳng thỏa mãn: $(R_1): x+2y-z-1=0$ $(R_2): 2x-5y-11z+7=0$

Vec-tơ pháp tuyến của $(P),(Q)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1,-1,2), \overrightarrow{n_Q}=(3,-1,1)$. Giả sử phương trình của $(R)$ là: $Ax+By+Cz+D=0,A^2+B^2+C^2>0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A(2,0,1)$ và vuông góc với $(Q)$ là: $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Suy ra $(d)$ nằm trên $(R)$, dẫn tới $B(-1,1,0)$ thuộc $(R)$.Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l} 2A+C+D=0\\ -A+B+D=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} C=B-3A\\ D=A-B \end{array} \right.$ Dẫn tới: $(R): Ax+By+(B-3A)z+A-B=0$. Vec-tơ pháp tuyến của $(R)$ là: $\overrightarrow{n_R}=(A,B,B-3A)$.Vì $\angle ((P),(R))=60^o$ suy ra: $\frac{|1.A+(-1)B+2(B-3A)|}{\sqrt{6} .\sqrt{A^2+B^2+(B-3A)^2}} =\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt2 |B-5A|=\sqrt3 \sqrt{10A^2-6AB+2B^2} \Leftrightarrow 2(B^2-10AB+25A^2)=3(10A^2-6AB+2B^2)$$\Leftrightarrow 2B^2+AB-10A^2=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B=2A\\ B=\frac{-5}{2}A \end{array} \right.$ Từ đó suy ra có 2 mặt phẳng thỏa mãn: $(R_1): x+2y-z-1=0$ $(R_2): 2x-5y-11z+7=0$

Điều kiện: $x\geq -1$Phương trình tương đương với:$\log_2^2(x+1)-3\log_2(x+1)+2=0 $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_2(x+1)=1\\ \log_2(x+1)=2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1=2\\ x+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\ x=3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)Vậy nghiệm của phương trình là : $x\in\{1;3\}$.

Điều kiện: $x> -1$Phương trình tương đương với:$\log_2^2(x+1)-3\log_2(x+1)+2=0 $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_2(x+1)=1\\ \log_2(x+1)=2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1=2\\ x+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\ x=3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)Vậy nghiệm của phương trình là : $x\in\{1;3\}$.