Xét hàm $f(a)=\frac{a^2+3}{a-1}$
Giả sử $ 2 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq 4$
Nên, $f(a_{1})-f(a_{2})=\frac{a^{2}_{1}+3}{a_{1}-1}- \frac{a^{2}_{2}+3}{a_{2}-1}$
$=\frac{(a^{2}_{1}+3)(a_{2}-1)-(a^{2}_{2}+3)(a_{1}-1)}{(a_{1}-1)(a_{2}-1)}$
Nên, dấu của $f(a_{1})-f(a_{2})$ phụ thuộc vào dấu của $A=(a^{2}_{1}+3)(a_{2}-1)-({a_{2}}^{2}+3)(a_{1}-1)$
$A=a_{1}.a_{2}.(a_{1}-a_{2})+3.(a_{2}-a_{1})+(a_{2}+a_{1})(a_{2}-a_{1})$
$A=(a_{2}-a_{1})(3+a_{1}+a_{2}-a_{1}.a_{2})$
Nên, dấu của $A$ phụ thuộc vào $B=3+a_{1}+a_{2}-a_{1}.a_{2}$
Mà $B=4-(a_{1}-1)(a_{2}-1)$
Th1: $2\leq a_{1} \leq a_{2} \leq 3$
Thì, $B\geq 0$ nên $A\geq0$ nên $f(a_{1})-f(a_{2})\leq 0$
Nên, hàm $f(a)$ là hàm nghịch biến và đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow$ $a$ Min
$\Leftrightarrow$ $a=2$.Khi đó, $f(a)=7$
Th2: $3\leq a_{1} \leq a_{2} \leq 4$
Thì, $B\leq0$ nên $A\leq0$ nên $f(a_{1})-f(a_{2})\geq 0$
Nên, hàm $f(a)$ là hàm đồng biến và đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow$ $a$ Max
$\Leftrightarrow$ $a=4$. Khi đó $f(a)=\frac{19}{3}$
Vậy, $f(a)$ Max $=7$ $\Leftrightarrow$ $a=2$