Chứng minh rằng:

Cho $a+b+c=\frac{\pi}{4}. \tan a; \tan b; \tan c$ là nghiệm của phương trình:

(1) Tính:
$\sin2.\sin18.\sin22.\sin38.\sin42.\sin58.\sin62.\sin78.\sin82$ 
(2) Cho $a+b+c=\frac{\pi}{4}$ . $\tan a;\tan b;\tan c $ là nghiệm của phương trình:
$x^3+px^2+qx+r=0$. Chứng minh rằng: $p+1=q+r$ 

1) Cho tứ giác ABCD có AB=45cm, CD=73cm, I thuộc CD sao cho AI chia tứ giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Khi đó IC=...cm
2) Cho tam giác ABC có trực tâm H, Cạnh BC=30, góc $A=45^o$, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, AC, HC, HB.Khi đó diện tích tứ giác MNPQ =???

Bài 1:
Tìm tất cả các số nguyên $x, y, z (x>1; y>1; z>1)$  thỏa mãn phương trình
$(x^2+y^2)^z=(xy)^{2011}$

Bài 2: Cho tam giác ABC, giả sử  đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại P, Q, R.
Chứng minh rằng:
$\frac{BC}{PQ}+\frac{CA}{QR}+\frac{AB}{RP}\geq 6$ 

Bài 3: Với các số thức dương a, b, c thỏa điều kiện: $21ab+2bc+8ca \leq 12$ . Hãy tìm GTNN của:
$P=\frac{1}{a}+ \frac{2}{b}+ \frac{3}{c}$ 

Bài 4: trên bảng vuông kẻ caro kích thước $2013\times 2013$  ta chọn ra $2011$ ô bất kỳ. Chứng minh rằng trong các ô lấy ra ta luôn tìm được $503$ ô rời nhau ( đôi một không chung đỉnh)

Bài 5:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{3x}(1+ \frac{1}{7y-24x})= \frac{2 \sqrt{7}}{7}\\ \sqrt{-21y}(1- \frac{1}{7y-24x})=2 \end{array} \right.$ 

Chứng minh rằng:
a) $R(m;n)=R(n;m)$ 
b) $R(m;2)=R(2;m)=m$ 
c) $R(m;n)\leq R(m-1;n)+R(m;n-1)$ 
d) $R(m;n)\leq R(m-1;n)+R(m;n-1)-1$ ( Với $R(m-1;n) và R(m;n-1)$ chẵn

Let ABC be a triangle with the altitudes AA' , BB' , CC' meet at H. Prove that:
$\frac{HA}{HA'}+\frac{HB}{HB'}+\frac{HC}{HC'}=6\sqrt3\geq6+\frac{a}{HA'}+\frac{b}{HB'}+\frac{c}{HC'}$ 

For a given positive integer n, how many n-digit natural numbers can be formed from five positive digits 1,2,3,4 and 5 so that an odd numbers of 1 and even numbers of 2 are used

Let a,b,c be positive real numbers. Prove that:
$min\left\{\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} {};\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{a^2}{ab} \right\}\geq max\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} {};\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a} \right\}$ 

Let Oxyz be a right trihedral with angle at O, and A,B,C move on the sides Ox, Oy and Oz respective so that the area of the triangle ABC is constant S. Let S1,S2, S3 be the areas of the triangles OBC, OCA, OAB respectively. find the greatest value of the expression:
$P=\frac{S_1}{S+2S_1}+\frac{S_2}{S+2S_2}+\frac{S_3}{S+2S_3}$ 

Does there exist a polynormial $P(x)$ of degree 2010 such that $P(x^2-2010)$ is divisible to $P(x)$

Solve the equation:
$3x^4-4x^3=1-\sqrt{(1+x^2)^3}$ 

Without using trigonometry formula, prove the following equalities
1, $\cos 36.\cos 72=\frac{1}{4}$ 
2, $\tan 36.\tan72=\sqrt{5}$ 

Let O be the midpoint of a line sement Ab=2a, In the half-plane with edge AB, draw two rays Ax, By both perpendicular to AB. Choose M and N on Ax and By respectively such that MN=AM +BN. let H be the foot of the altitude from O onto MN. Find the possitions of M and N such that the area of the triangle HAB greatest possible

Find all pair of real numbers and be so that $a+b=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$ and $A=a^4-6a^2b^2+b^4$ is a positive integer