Gọi thời gian xe máy và ô tô gặp nhau là x(h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: x+2 (h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: x+0,5 (h)

Vận tốc của xe máy là: $\frac{90}{x+2}$ (km/h)

Vận tốc của xe ô tô là: $\frac{90}{x+0,5}$ (km/h)

Ta có pt: $\frac{90}{x+2}$ $\times$ 2+ $\frac{90}{x+0,5}$ $\times$ 0,5 =90

Giải pt ta có: x=1(h)

Từ đây tìm được v xe máy và ô tô

Đặt $x^{2}$ + 3xy + $y^{2}$ = $5^{a}$ (a$\in$ N*)

Vì x, y nguyên tố => a$\geq$ 2

$\Rightarrow$ $x^{2}$ + 3xy + $y^{2}$ = $5^{a}$ $\geq$ 25
$\Rightarrow$ $x^{2}$ + 3xy + $y^{2}$ chia hết 25
$\Rightarrow$ $x^{2}$ - 2xy + $y^{2}$ +5xy chia hết 25
$\Rightarrow$ $(x-y)^{2}$ +5xy chia hết 25 
$\Rightarrow$ $(x-y)^{2}$ chia hết 5
$\Rightarrow$ (x-y) chia hết 5 (vì 5 là số nguyên tố)
$\Rightarrow$ $(x-y)^{2}$ chia hết 25
mà $(x-y)^{2}$ +5xy chia hết 25
$\Rightarrow$ 5xy chia hết 25
$\Rightarrow$ xy chia hết 5
mà x, y là số nguyên tố
$\Rightarrow$ x hoặc y chia hết 5
mà x, y là số nguyên tố
$\Rightarrow$ x=5  hoặc y=5
Mà x,y có vai trò như nhau nên xét nếu x=5
$\Rightarrow$  $5^{2}$ +3.5y - $y^{2}$ = $5^{a}$
$\Rightarrow$25 +15y - $y^{2}$ = $5^{a}$
$\Rightarrow$ y(15-y) = $5^{b}$ (b $\in$ N*)
$\Rightarrow$ y(15-y) chia hết 5
$\Rightarrow$ $y^{2}$ chia hết cho 5
$\Rightarrow$ y chia hết cho 5
$\Rightarrow$ y=5 (vì y là số nguyên tố)
Vậy x=5; y=5

Gọi vận tốc xe đạp là $x (km/h); x>0$ thì vận tốc xe máy là $5x (km/h)$
Khi xe máy bắt đầu khởi hành thì xe đạp cách xe máy (chính là quãng đường xe đạp đi đc trong 2h): $2x(km)$
Thời gian xe máy đuổi kịp xe đạp là: $2x:(5x-x)=\frac{1}{2} h$
Quãng đường xe máy đi từ A đến chỗ gặp xe đạp là: $60-37,5=22,5 (km)$
Thời gian xe máy đi quãng đường trên là: $\frac{22,5}{5x} (h)$
Thời gian xe máy đuổi kịp xe đạp cũng chính là thời gian xe máy đi quãng đường dài 22,5km nên ta có pt:
$\frac{22,5}{5x}$=$\frac{1}{2}$ $\Rightarrow  x=9 (km/h)$
 Vận tốc của xe máy là $45  km/h$

Chắc đề bài là:
Cho a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{a+b+c}$ . Cm: $\frac{1}{a^{2005}}$+$\frac{1}{b^{2005}}$+$\frac{1}{c^{2005}}$= $\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}$

Giải:
Vì $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{a+b+c}$
$\Rightarrow$$\frac{ab+bc+ca}{abc}$=$\frac{1}{a+b+c}$
$\Rightarrow$ (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc
$\Rightarrow$ (ab+bc+ac)(a+b+c)- abc=0
$\Rightarrow$ (a+b)(b+c)(c+a)=0

*Với a+b=0
$\Rightarrow$ a=-b
$\Rightarrow$ a^{2005}=-b^{2005}
$\Rightarrow$ a^{2005}+b^{2005}=0 và $\frac{1}{a^{2005}}$=-$\frac{1}{b^{2005}}$

Thay vào các vế của đẳng thức suy ra ĐPCM

Các trường hợp còn lại cm tương tự

CM $\triangle$ABH $\sim$ $\triangle$CHA (gg)
$\Rightarrow$ $\frac{AB}{BH}$= $\frac{AC}{AH}$= $\frac{AD}{HE}$
CM $\triangle$BAD $\sim$ $\triangle$BHE (cgc)
$\Rightarrow$ $\frac{BD}{BE}$ = $\frac{BA}{BH}$
mà $\triangle$ABC vuông tại A; đường cao AH
$\Rightarrow$ $AB^{2}$= BH.BC
$\Rightarrow$ $\frac{BD}{BE}$= $\frac{BC}{AB}$= $\frac{AB}{BH}$
CM $\triangle$BED $\sim$ $\triangle$BAC (cgc)
$\Rightarrow$ $\widehat{BED}$=$\widehat{ABC}$= 90độ

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, E thuộc tia đối cảu tia HA sao cho $\frac{AD}{AC}=\frac{HE}{HA}=\frac{1}{3}$. Chứng minh rằng $\widehat{BED}=90^{0}$

---