Chiều đảo hiển nhiên . Ta chứng minh chiều thuận bằng phản chứng . Giả sử $a,b\in Z$ sao cho $a^2+b^2$ chia hết $p$ nhưng chẳng hạn $a $ không chia hết cho $p$ . Khi đó $b$ cũng không chia hết cho $p$ .Theo định lý nhỏ FERMAT thì
$a^{p-1}\div p$ dư 1,$b$ tương tự $\Rightarrow a^{p-1}+b^{p-1}\div p$ dư 2 $\Rightarrow (a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1}\div p$ dư 2
Mặt khác $(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} =(a^2+b^2)A$ chia hết cho $p\Rightarrow 2$ chia hết cho $p$ vô lý vì $p\geq 3$
Vậy điều giả sử sai

Ta có $M= a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} =-3(a+b) +(4a +\frac{1}{a}) +(4b+\frac{1}{b})$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
$4a+\frac{1}{a} \geq 4 $ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{1}{2}$ 
Tương tự cho $b$ :ta có
$ 4b + \frac{1}{b} \geq 4$ .Hơn nữa cũng có $ -3(a+b) \geq -3 $ ,dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{2}$.
Vậy $M \geq 5$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

lỗi LATEX thông cảm :) đây là link của mấy bài này đây http://tanggiap.vn/threads/phuong-phap-danh-gia-phuong-trinh-vo-ti.1569/ :)

Điều kiện $x ≥ 0$
Théo BĐT B-C-S
$VT^2=(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+1}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}})^2\leq (x+9)(\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1})=VP^2$
tìm dấu = xảy ra ta sẽ tìm đk $x$ :)
${\displaystyle x\ge 0}$
${\displaystyle x=\frac{1}{7}}$

2. Ta có $VT\geq 5,VP\leq 5$ Mặt khác $VT=VP\Leftrightarrow VT=VP=5\Leftrightarrow x=-1$ :)

ĐK: $x\geq \frac{-1}{3}$

đổ nước vào bình 5 l
đổ 5l qua bình 3l
đổ 3l trong bình 3 l đi sau đó đổ 2l từ bình 5 l qua bình 3l
múc đầy bình 5 l
đổ 1l qua bình 3l thu được 4l nước trong bình 5l :)

đặt:$\sqrt[3]{6x+1}=t\Rightarrow t^3=6x+1$$\Rightarrow (t-2x)(x^2+4tx+4x^2+1)=0\Rightarrow t=2x$ $\Leftrightarrow 8x^3-6x=1=2\cos \frac{\pi }{3} $
$\Leftrightarrow 4x^3-3x=4\cos^3 \frac{\pi }{9}-3\cos \frac{\pi }{9}$ Tương tự với các cung $\frac{\pm \pi }{3}+k2\pi $ còn lại

Ta có : $(x+\sqrt{x^2+5})(\sqrt{x^2+5}-x)=5$ Mặt khác theo gt ta có $(x+\sqrt{x^2+5})(y+\sqrt{y^2+5})=5$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+5}-x = y+\sqrt{y^2+5} \vee x+ \sqrt{x^2+5}=0 $(loại do $x+\sqrt{x^2+5}=0$ vô nghiệm)
giải pt còn lại ta được $x=-y\Rightarrow A=x+y=0$

Ta có : $\sqrt{2x+15}=2(4x+2)^2-28 $ Đặt $\sqrt{2x+15}=4y+2$ Đk $y\geq -2$ Ta có hệ : $\begin{cases}(4y+2)^2=2x+15 \\ (4x+2)^2=2y+15 \end{cases}$ Đến đây nhờ bn giải giùm mih nhé :)

Đặt $2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=\frac{a}{b},\forall a,b\in N$ Ta có : $\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=\frac{a}{b}-3\sqrt{y}\Leftrightarrow 4x=\frac{a^2}{b^2}-6\frac{a}{b}\sqrt{y}+9y\Rightarrow \frac{a}{b}\sqrt{y}\in Q\Rightarrow \sqrt{y}\in Q\Rightarrow \sqrt{x}\in Q$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đặt $n+5=t^2,n+3=k^2\Leftrightarrow t^2-2=k^2\Leftrightarrow t^2-k^2=2\Leftrightarrow (t-k)(t+k)=2$  đến đây thì giải pt nghiệm nguyên :)

câu 1 ở đây luôn :) https://www.scribd.com/doc/39654457/Bai-Tap-Gioi-Han-Co-Loi-Giai