Áp dụng BDT
Cauchy ta có:
\sum \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^3+abc}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{\prod{(a+b)}}{\sqrt[3]{abc\prod(a^2+bc)}}}
=3\sqrt[9]{\frac{\prod{(a+b)^3}}{abc\prod(a^2+bc)}}=3\sqrt[9]{\frac{\prod{(a+b)^2(a+c)^2}}{abc\prod{(a+b)}\prod{(a^2+bc)}}}
=3\sqrt[9]{\frac{\prod(a^2+bc+a(b+c))^2}{abc\prod{(a+b)}\prod{(a^2+bc)}}}
\ge 3\sqrt[9]{\frac{\prod(4a(b+c)(a^2+bc))}{abc\prod{(a+b)}\prod{(a^2+bc)}}}=3\sqrt[3]{4}\implies Q.E.D.
Tổng quát cho bài toán này:
Cho a,b,c,p,k>0. Chứng minh rằng:
\sum \sqrt[p]{\frac{(a+b)^3}{a^3+kabc}}\ge 3\sqrt[p]{\frac{8}{1+k}}