|
giải đáp
|
Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau:
|
|
|
1. Đặt $u=x^2+4x+3$, suy ra: $du=(2x+4)dx=2(x+2)dx \leftrightarrow (x+2)dx=\frac{1}{2}du $ Từ đó: $\int\limits \frac{(x+2)dx}{x^2+4x+3} =\frac{1}{2}\int\limits \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|=\frac{1}{2}\ln|x^2+4x+3|+C $ 2. Đặt $u=\cos(2x+1)$, suy ra: $du=-2\sin(2x+1)dx \leftrightarrow \sin(2x+1)=-\frac{1}{2}du $ Từ đó: $\int\limits \frac{\sin(2x+1)dx}{\cos^2(2x+1)}=-\frac{1}{2}\int\limits \frac{du}{u^2}=\frac{1}{2u}+C=\frac{1}{2\cos(2x+1)}+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số: $g(x)=\frac{e^{-x}}{e^x-e^{-x}} $ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} $ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits \frac{(e^x+e^{-x})dx}{e^x-e^{-x}}=\int\limits \frac{d(e^x-e^{-x})}{e^x-e^{-x}}=ln|e^x-e^{-x}|+C_1 $ $f(x)-g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=1 $ $\Rightarrow F(x)-G(x)=\int\limits dx=x+C_2$ Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)= ln|e^x-e^{-x}|+C_1\\ F(x)-G(x)=x+C_2 \end{cases} $ $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(ln|e^x-e^{-x}|+x)+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số phụ: $g(x)=2\cos^2x.\sin2x$ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=2(\sin^2x+\cos^2x)\sin2x=2\sin2x$ $\Rightarrow F(x)+G(x)=2 \int\limits \sin2xdx=-\cos2x+C_1$ $f(x)-g(x)=2(\sin^2x-\cos^2x)\sin2x=-2\cos2x.\sin2x=-\sin4x$ $\Rightarrow F(x)-G(x)=-\int\limits \sin4xdx=\frac{1}{4}\cos 4x+C_2 $ Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)=-\cos2x+C_1 \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{4}\cos 4x+C_2 \end{cases} \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(-\cos2x+\frac{1}{4} \cos4x)+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số phụ: $g(x)=\frac{\sin^4x}{\sin^4x+\cos^4x} $ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^4x+\cos^4x}=1 $ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits dx=x+C_1$ $f(x)-g(x)=\frac{\sin^4x-\cos^4x}{\sin^4x+\cos^4x}$ $=\frac{(\sin^2+\cos^2x)(\sin^2x-\cos^2x)}{(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}= \frac{\cos2x}{1-\frac{1}{2}\sin^22x } $ $\Rightarrow F(x)-G(x)=\int\limits \frac{2\cos2x}{2-\sin^22x}dx =-\int\limits \frac{d(\sin2x)}{\sin^22x-2} $ $=\frac{1}{2\sqrt{2} }\int\limits [\frac{1}{\sin2x -\sqrt{2} }-\frac{1}{\sin2x+\sqrt{2} } ]d(\sin 2x ) $ $=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\ln|\frac{\sin2x+\sqrt{2} }{\sin2x-\sqrt{2} } |+C_2 $ Ta được: $\begin{cases}F(x)+G(x)=x+C_1 \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2} }\ln\frac{\sin2x+\sqrt{2} }{\sin2x-\sqrt{2} } +C_2 \end{cases} $ $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2 \sqrt{2} }\ln\frac{\sin2x+\sqrt{2} }{\sin2x-\sqrt{2} } ) +C$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Chọn hàm số phụ: $g(x)=\frac{\cos x}{\sin x-\cos x} $ Chọn F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x). Ta có: $f(x)+g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} $ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\limits \frac{d(\sin x-\cos x)}{\sin x-\cos x}=\ln|\sin x-\cos x|+C_1$ $f(x)-g(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}=1$ $\Rightarrow F(x)+G(x)=\int\limits dx=x+C_2$ Ta được : $\begin{cases}F(x)+G(x)=ln|\sin x-\cos x|+C_1 \\ F(x)-G(x)=x+C_2 \end{cases} $ $\Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}(ln|\sin x-\cos x|+x)+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của hàm số:
|
|
|
Sử dụng đồng nhất thức: $\tan ^3x=\tan ^2x.\tan x=(\frac{1}{\cos ^2x}-1)\tan x=\tan x.\frac{1}{\cos ^2x}-\frac{\sin x}{\cos x} $ Ta được: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \tan x.\frac{1}{\cos ^2x}dx-\int\limits \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int\limits \tan xd(\tan x)+\int\limits \frac{d(\cos x)}{\cos x} $ $=\frac{1}{2}\tan ^2x+\ln|\cos x|+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\frac{1}{2}\int\limits (\cos 3x+\cos x)dx=\frac{1}{6}\sin 3x+\frac{1}{2} sin x+C $ 2. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\cos^3xdx=\frac{1}{4}\int\limits (\cos 3x+3\cos x)dx=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}\sin3x+3\sin x)+C $ $=\frac{1}{12}\sin 3x +\frac{3}{4}\sin x+C $
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm nguyên hàm của các hàm số:
|
|
|
1. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{dx}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1} }=\int\limits \frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})dx }{x+3-x-1} $ $=\frac{1}{2}\int\limits [(x+3)^{\frac{1}{2} }-(x+1)^{\frac{1}{2} }]dx =\frac{1}{3}[(x+3)^{\frac{3}{2} }-(x+1)^{\frac{3}{2} }] +C$ 2. Ta có: $\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}-x }=\int\limits \frac{x(\sqrt{x^2+1}+x )dx}{x^2+1-x^2} =\int\limits x \sqrt{x^2+1}dx+\int\limits x^2dx $ $=\frac{1}{2}\int\limits (x^2+1)^{\frac{1}{2} }d(x^2+1)+\int\limits x^2dx=\frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2} } +\frac{1}{6}x^3 +C $
|
|