|
|
giải đáp
|
tính thể tích khối tròn xoay
|
|
|
Giải Ta có: $y = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\ln x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = 1$ Hàm số $y = \ln x$ liên tục và $y \ge 0\,\,\,\forall x \in \left[ {1,e} \right]$ Suy ra $V = \pi \int\limits_1^e {{{\ln }^2}xdx} $ Đặt $u = {\ln ^2}x\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du = \,\,2\ln x\,\frac{{dx}}{x}$ $dv\, = \,\,\,dx\,\,\, \Rightarrow \,\,\,v = \,\,x$
Suy ra : $V = \left. {\pi x{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\pi
\int\limits_1^e {\ln xdx = \left. {\pi e - 2\pi \left( {x\ln x} \right)}
\right|} _1^e$ $\begin{array}{l} V = \pi e - 2\pi e =
- \pi e \\ V =
- \pi e (dvtt) \end{array}$
|
|
|
|
giải đáp
|
thể tích khối tròn xoay
|
|
|
Hàm số $y = x\ln x$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {1,e} \right]$, thể tích khối tròn xoay sinh ra cho bởi công thức : $V = \pi \int\limits_1^e {f{{(x)}^2}dx} $, suy ra $V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} $ Đặt $u = {\ln ^2}x\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du = 2\ln xdx$ $dv = \,\,\,{x^2}dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = \frac{{{x^3}}}{3}$ Suy ra $V = \pi \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right]_1^e - \frac{2}{3}\pi \int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} $ Đặt $u = \ln x\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du\,\, = \,\,\frac{{dx}}{x}$ $dv = \,\,\,{x^2}dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = \frac{{{x^3}}}{3}$
Suy ra: $\int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} =
\left[{\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right]_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e
{{x^2}dx} = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{9}\left( {{e^3} - 1} \right)$ Từ đó: $V = \frac{\pi }{{27}}\left( {7{e^3} - 2} \right)\,\,\,\,dvtt$.
|
|
|
|
giải đáp
|
tích phân
|
|
|
$I = \,\,\int\limits_{ - 1}^0 {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} }
\right)dx} + \,\,\int\limits_0^1 {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} }
\right)dx} $ $I = K + L$ Đặt $x = - t\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,dx\,\, = \,\, - dt$ $\begin{array}{l} x = - 1\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,t\,\, = \,\,1\\ x = - t\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,t\,\, = \,\,0 \end{array}$ Suy ra : $\begin{array}{l} K
= \int\limits_{ - 1}^0 {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx =
} \int\limits_0^1 {\ln \left( { - t + \sqrt {{t^2} + 1} } \right)dt} \\ \,\,\,\,\,
= \,\,\,\int\limits_0^1 {\ln \frac{1}{{t + \sqrt {{t^2} + 1} }}} dt =
\,\, - \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx =
- L} \end{array}$ Vậy $I = K + L = - L + L = 0$ ĐS : $I = 0$
|
|
|
bình luận
|
tích phân những bài như này rất hay nhầm. Bạn nên làm từ từ cẩn thân nhé
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tích phân
|
|
|
Đặt $u = {e^{3x\,\,\,\,}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du\, = \,\,3{e^{3x\,}}dx$ $dv = \sin \,4x\,dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,v = \,\, - \frac{1}{4}\cos 4x$ $\begin{array}{l} I
= \,\,\,\, - \left. {\frac{1}{4}{e^{3x\,}}\cos 4x} \right|_0^{\frac{\pi
}{4}} + \frac{3}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{e^{3x\,}}\cos 4xdx}
\\ \,\,\, = \frac{1}{4}\left( {1 + {e^{\frac{3\pi}{4}}}} \right) + \frac{3}{4}K \end{array}$ Tính $K$ : Đặt $u = {e^{3x\,\,\,\,}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du\, = \,\,3{e^{3x\,}}dx$ $dv = \cos 4xdx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,v = \,\,\frac{1}{4}\sin \,4x\,$ $\begin{array}{l} K = \left. {\frac{1}{4}{e^{3x\,}}\sin \,4x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \frac{3}{4}I = - \frac{3}{4}I\\ I
= \frac{1}{4}\left( {1 + {e^{\frac{3\pi}{4}}}} \right) -
\frac{9}{{16}}I\,\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{25}}{{16}}I =
\frac{1}{4}\left( {1 + {e^{\frac{3\pi}{4}}}} \right) \end{array}$ Vậy $I = \frac{4}{{25}}\left( {1 + {e^{\frac{3\pi}{4}}}} \right)$
|
|
|
|
giải đáp
|
tính tích phân
|
|
|
$1)$ Đặt $t = \sqrt {{e^x} + 1} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,{t^2} = {e^x} + 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2tdt\, = {e^x}dx$ $ \Rightarrow \,\,\,dx = \frac{{2tdt}}{{{t^2} - 1}}\,\,\,;\,\,\,$$\begin{array}{l} x = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,t = \sqrt 2 \\ x = \ln 3\,\, \Rightarrow \,\,\,t = 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} I
= 2\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \left[ {\ln
\left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right]|_{\sqrt 2 }^2 = \ln
\frac{1}{3} - \ln \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\\ I = \ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \ln \frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{3} \end{array}$ $2)$ Đặt $u = x\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du = dx$ $dv = {e^{ - \frac{x}{2}}}dx\,\,\,\, \Rightarrow \,\,v = - 2{e^{ - \frac{x}{2}}}$ $\begin{array}{l} J = - \left. {2x{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right|_0^2 + 2\int\limits_0^2 {{e^{ - \frac{x}{2}}dx}} \\ \left.
{\,\,\,\, = \, - 4{e^{ - 1}} - 4{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right|_0^2 =
\,\, - 4{e^{ - 1}} - 4\left( {{e^{ - 1}} - 1} \right) = 4 - \frac{8}{e} \end{array}$ Vậy $J = 4 - \frac{8}{e}$
|
|
|
|
giải đáp
|
giải tam giác
|
|
|
Theo định lý hàm số sin ,ta có: $\begin{array}{l} a = b(1 + 2\cos 2B)\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin B(1 + 2\cos 2B)\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin B + \sin 3B - \sin B\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin 3B (1) \end{array}$ Từ $(1)$ suy ra có $2$ khả năng sau: $1.$ $A=3B$ Do mà $A=3B$ nên Dễ thấy : Vậy $AMC$ cũng là tam giác cân $2.$ Nếu $A + 3B = {180^0}$ Khi đó ta có $A+3B=A+B+C$ $\Rightarrow C = 2B$ Kẻ $AE \bot BC$.Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $E$ suy ra $ABM$ Là tam giác cân Ta có mà $C=2B$ nên suy ra : Ta có (đpcm) Mệnh đề đảo nói chung không đúng Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $C = {70^0},B = {20^0}$ Khi đó lấy $M$ là trung điểm $BC$ thì ta có $MB=MC=MA$ tức là tồn tại $M$ sao cho $ABM$ và $ACM$ là tam giác cân Nhưng khi đó $sinA=1$, $sin3B=\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow \sin A\neq \sin 3B \Rightarrow a \neq b(1 + 2\cos B)$ Suy ra (đpcm)
|
|
|
bình luận
|
tích phân Bài này dễ mà bạn. Chú ý suy nghỹ một chút là có cách thôi ấy mà bạn
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tích phân
|
|
|
Đặt : $u =ln^2x\Rightarrow du=\frac{2lnx}{x}$ $\begin{array}{l} dv = xdx \Rightarrow v = \frac{{{x^2}}}{2}\\ I = \frac{{{x^2}}}{2}{\ln ^2}x\left| {_1^e} \right. - \int_1^e {x\ln xdx} = \frac{{{e^2}}}{2} - \int_1^e {x\ln xdx} \end{array}$ Đặt : $u=lnx\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$ $dv=xdx\Rightarrow v=\frac{x^2}{2}$ Suy
ra :$\int_1^e {x\ln xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| {_1^e -
\frac{1}{2}} \right.\int_1^e {xdx} = \frac{{{e^2}}}{2} -
\frac{1}{4}\left( {{e^2} - 1} \right)$ Suy ra : $I = \frac{1}{4}\left( {{e^2} + 1} \right)$
|
|
|
sửa đổi
|
tích phân
|
|
|
tích phân Tính : $I = \int\limits_1^e {x {\ln^2 }xdx} $
tích phân Tính : $I = \int\limits_1^e {x\ln^2xdx} $
|
|