$\begin{cases}x^{4}-4x^{2}+y^{2}-6y+9= 0\\ x^{2}y+x^{2}+2y-22=0 \end{cases}$<=>$\begin{cases}(x^{2}-2)^{2}+(y-3)^2= 4\\ (x^{2}+2)(y+1)=24 \end{cases}$Đặt a= $x^{2}$-2 và b=y-3 ta có hpt:$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=4 (3)\\ (a+4)(y+4) = 24 (4)\end{cases}$Từ pt (4) ta có b =$\frac{24}{a+4}-4$Thay vào pt(3) rồi rút gọn ta dc:$a(a^{3}+8a^{2}+28a-96) = 0$Từ đây ta tìm dc 2 nghiệm là a={0;2)từ đây ta tìm dc b và dễ dàng tìm dc các cặp nghiệm x;yĐA cũng như a Trần Nhật Tân nhưng cách làm sẽ đơn giản hơn

$\begin{cases}x^{4}-4x^{2}+y^{2}-6y+9= 0\\ x^{2}y+x^{2}+2y-22=0 \end{cases}$<=>$\begin{cases}(x^{2}-2)^{2}+(y-3)^2= 4\\ (x^{2}+2)(y+1)=24 \end{cases}$Đặt a= $x^{2}$-2 và b=y-3 ta có hpt:$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=4 (3)\\ (a+4)(b+4) = 24 (4)\end{cases}$Từ pt (4) ta có b =$\frac{24}{a+4}-4$Thay vào pt(3) rồi rút gọn ta dc:$a(a^{3}+8a^{2}+28a-96) = 0$Từ đây ta tìm dc 2 nghiệm là a={0;2)từ đây ta tìm dc b và dễ dàng tìm dc các cặp nghiệm x;yĐA cũng như a Trần Nhật Tân nhưng cách làm sẽ đơn giản hơn

ĐK: $xy\neq 0$ và $xy\neq -1$Đặt $a = 1+\frac{1}{xy}$ ta có hpt:$\begin{cases}(x^3+y^3)a^3=27 \\ (x^2+y^2)a^2= 9\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}x^3+y^3= (\frac{3}{a})^3\\ x^2+y^2=(\frac{3}{a})^2 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x^3+y^3)^2=(\frac{3}{a})^6 \\ (x^2+y^2)^3=(\frac{3}{a})^6 \end{cases}$$\Rightarrow(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2$$\Leftrightarrow 3x^4y^2+3x^2y^4=2x^3y^3$ (3)Vì $xy\neq 0$ nên chia cả 2 vế của pt(3) cho $x^2y^2$ ta dc:$3x^2+3y^2=2xy$$\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{2xy}{3}$ (4)Mà ta có bđt $x^2+y^2\geq 2xy$ (5)từ (4) và (5) suy ra $\frac{2xy}{3}=2xy$dấu = xảy ra khi x=0 hoặc y = 0 khi đó xy=0(không thỏa ĐK)Vậy hpt vô nghiệm

ĐK: $xy\neq 0$ và $xy\neq -1$Đặt $a = 1+\frac{1}{xy}$ ta có hpt:$\begin{cases}(x^3+y^3)a^3=27 \\ (x^2+y^2)a^2= 9\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}x^3+y^3= (\frac{3}{a})^3\\ x^2+y^2=(\frac{3}{a})^2 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x^3+y^3)^2=(\frac{3}{a})^6 \\ (x^2+y^2)^3=(\frac{3}{a})^6 \end{cases}$$\Rightarrow(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2$$\Leftrightarrow 3x^4y^2+3x^2y^4=2x^3y^3$ (3)Vì $xy\neq 0$ nên chia cả 2 vế của pt(3) cho $x^2y^2$ ta dc:$3x^2+3y^2=2xy$$\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{2xy}{3}$ (4)$\Rightarrow xy>0$Mà ta có bđt $x^2+y^2\geq 2xy$ $xy\geq 0 thì 2xy \geq \frac{2xy}{3}$suy ra:$x^2+y^2\geq 2xy\geq \frac{2xy}{3}$dấu = xảy ra khi $2xy = \frac{2xy}{3}$khi đó xy=0(không thỏa ĐK)Vậy hpt vô nghiệm

$(a+b+c+d)^{2}\leq4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) $$\Leftrightarrow 4\leq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$$ \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$dấu = xảy ra khi a=b=c=d=$\frac{1}{2}$

áp dụng bdt bunhiacopski cho 4 số a,b,c,d ta có:$(a+b+c+d)^{2}\leq(1+1+1+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) $$\Leftrightarrow 4\leq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$$ \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$dấu = xảy ra khi a=b=c=d=$\frac{1}{2}$

$(a+b+c+d)^{2}\leq4(a^{2}+b{2}+c{2}+d{2})$$\Leftrightarrow 4\leq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$=&gt;dpcm

$(a+b+c+d)^{2}\leq4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$$\Leftrightarrow 4\leq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$dấu = xảy ra khi a=b=c=d=$\frac{1}{2}$

nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ nên ta chia cả 2 pt cho y ta dc:$\begin{cases}\frac{x^{2}+1}{y}+x+y=4 \\ (x+y)^{2}=2(\frac{x^{2}+1}{y})+7 \end{cases}$đặt $a=x+y và b = \frac{x^{2}+1}{y}$ ta có:$\begin{cases}a+b= 4 (3)\\ a^{2}=2b+7 (4)\end{cases}$từ pt (3) ta có b=4-a thay vào pt (4) a dễ dàng tìm dc a và b từ đó dễ dàng tìm dc x và y

nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ nên ta chia cả 2 pt cho y ta dc:$\begin{cases}\frac{x^{2}+1}{y}+x+y=4 \\ (x+y)^{2}=2(\frac{x^{2}+1}{y})+7 \end{cases}$đặt $a=x+y và b = \frac{x^{2}+1}{y}$ ta có:$\begin{cases}a+b= 4 (3)\\ a^{2}=2b+7 (4)\end{cases}$từ pt (3) ta có b=4-a thay vào pt (4) ta có:$a^{2}+2a-15=0$ ta tìm dc 2 nghiệm a =3 và a = -5 ta có:$\begin{cases}a=3 \\ b=1 \end{cases}\\ \begin{cases}a=-5 \\ b=9\end{cases}$Từ đây dễ dàng tìm dc x và y

Biến đổi VT ta dc $x^{2}(x+1)^{2}+(x-1)^{2}$ > 0VT > 0 nên VP > 0 tức là x >0ĐKXĐ: $0biến đổi pt ta dc:$(x^{2}+1)^{2}-2(x-x^{3}) = (x^{2}+1)\sqrt{x-x^{3}}$Đặt a =$x^{2}+1 ; b =\sqrt{x-x^{3}}$(ĐK:a,b>0) ta có:$a^{2}-2b^{2} = ab $$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b) = 0$$ \Rightarrow a - 2b = 0 \Rightarrow a = 2b$hay$x^{2}+1 = 2\sqrt{x-x^{3}} $$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x+1=0$$ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}-1$(thỏa ĐK)Vậy pt có nghiệm x =$\sqrt{2} -1$

Biến đổi VT ta dc $x^{2}(x+1)^{2}+(x-1)^{2}$ > 0VT > 0 nên VP > 0 tức là x >0ĐKXĐ: $0biến đổi pt ta dc:$(x^{2}+1)^{2}-2(x-x^{3}) = (x^{2}+1)\sqrt{x-x^{3}}$Đặt a =$x^{2}+1 ; b =\sqrt{x-x^{3}}$(ĐK:a,b>0) ta có:$a^{2}-2b^{2} = ab $$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b) = 0$$ \Rightarrow a - 2b = 0 \Rightarrow a = 2b$hay$x^{2}+1 = 2\sqrt{x-x^{3}} $$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x+1=0$$ \Leftrightarrow (x^{2}+2x-1)^{2}=0$$\Leftrightarrow x = \sqrt{2}-1$(thỏa ĐK)Vậy pt có nghiệm x =$\sqrt{2} -1$

Biến đổi VT ta dc $x^{2}(x+1)^{2}+(x-1)^{2}$ > 0VT > 0 nên VP > 0 tức là x >0ĐKXĐ: $0<x\leq1$biến đổi pt ta dc:$(x^{2}+1)^{2}-2(x-x^{3}) = (x^{2}+1)\sqrt{x-x^{3}}$Đặt a = $x^{2}+1 ; b =\sqrt{x-x^{3}}$(ĐK:a,b>0) ta có:$a^{2}-2b^{2} = ab$$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b) = 0$$\Rightarrow a - 2b = 0 \Rightarrow a = 2b$ hay$x^{2}+1 = 2\sqrt{x-x^{3}}$$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x+1=0$$\Leftrightarrow (x^{2}-2x+1)^{2} =0$$\Leftrightarrow x = \sqrt{2}-1$ (thỏa ĐK)Vậy pt có nghiệm x = $\sqrt{2} -1$

Biến đổi VT ta dc $x^{2}(x+1)^{2}+(x-1)^{2}$ > 0VT > 0 nên VP > 0 tức là x >0ĐKXĐ: $0biến đổi pt ta dc:$(x^{2}+1)^{2}-2(x-x^{3}) = (x^{2}+1)\sqrt{x-x^{3}}$Đặt a =$x^{2}+1 ; b =\sqrt{x-x^{3}}$(ĐK:a,b>0) ta có:$a^{2}-2b^{2} = ab $$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b) = 0$$ \Rightarrow a - 2b = 0 \Rightarrow a = 2b$hay$x^{2}+1 = 2\sqrt{x-x^{3}} $$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x+1=0$$ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}-1$(thỏa ĐK)Vậy pt có nghiệm x =$\sqrt{2} -1$

Đặt $\sqrt{x+y}$ = a (a > 0)thì ta có:pt (2) <=> a = $x^{2}$ - ($a^{2}$ - x) <=> $a^{2}$ + a = $x^{2}$ +xtừ đây ta suy ra dc: a = xhay $\sqrt{x+y}$ = x <=> y = $x^{2}$-x = x(x-1)Thay vào pt (1) rùi rút gọn(bạn tự rút gọn nhé) ta dc:$x^{4}$ -2$x^{3}$+2$x^{2}$-8x -24 = 0<=>$x^{3}$(x-2) + x(x-2) + 12(x-2) = 0<=>(x-2)($x^{3}$+2x+12) = 0&lt;=&gt; X1=2 và X2 = -2=&gt; Y1 = 2 và Y2=6Cặp nghiệm (-2;6) ko thỏa mãn pt (2) nên ko phai là nghiệm của hptvậy hpt có nghiệm (x;y) = (2;2)

Đặt $\sqrt{x+y}$ = a (a > 0)thì ta có:pt (2) <=> a = $x^{2}$ - ($a^{2}$ - x) <=> $a^{2}$ + a = $x^{2}$ +xtừ đây ta suy ra dc: a = x và x > 0 (vì a > 0)hay $\sqrt{x+y}$ = x <=> y = $x^{2}$-x = x(x-1)Thay vào pt (1) rùi rút gọn(bạn tự rút gọn nhé) ta dc:$x^{4}$ -2$x^{3}$+2$x^{2}$-8x -24 = 0<=>$x^{3}$(x-2) + x(x-2) + 12(x-2) = 0<=>(x-2)($x^{3}$+2x+12) = 0ta tìm dc 2 nghiệm X1=2 (thỏa mãn) và X2 = -2 (không thỏa mãn vì x &gt; 0)=> y =x(x-1) = 2vậy hpt có nghiệm (x;y) = (2;2)

Đặt $\sqrt{x+y}$ = a (a > 0)thì ta có:pt (2) <=> a = $x^{2}$ - ($a^{2}$ - x) <=> $a^{2}$ + a = $x^{2}$ +xtừ đây ta suy ra dc: a = xhay $\sqrt{x+y}$ = x <=> y = $x^{2}$-x = x(x-1)Thay vào pt (1) rùi rút gọn(bạn tự rút gọn nhé) ta dc:$x^{4}$ -2$x^{3}$+2$x^{2}$-8x -24 = 0<=>$x^{3}$(x-2) + x(x-2) + 12(x-2) = 0<=>(x-2)($x^{3}$+2x+12) = 0dễ dàng cm dc $x^{3}$+2x+12 > 0 nên x-2 = 0 <;=&gt; x = 2y = $x^{2}$ - x = 2vậy hpt có nghiệm x = y = 2

Đặt $\sqrt{x+y}$ = a (a > 0)thì ta có:pt (2) <=> a = $x^{2}$ - ($a^{2}$ - x) <=> $a^{2}$ + a = $x^{2}$ +xtừ đây ta suy ra dc: a = xhay $\sqrt{x+y}$ = x <=> y = $x^{2}$-x = x(x-1)Thay vào pt (1) rùi rút gọn(bạn tự rút gọn nhé) ta dc:$x^{4}$ -2$x^{3}$+2$x^{2}$-8x -24 = 0<=>$x^{3}$(x-2) + x(x-2) + 12(x-2) = 0<=>(x-2)($x^{3}$+2x+12) = 0<=&gt; X1=2 và X2 = -2=> Y1 = 2 và Y2=6Cặp nghiệm (-2;6) ko thỏa mãn pt (2) nên ko phai là nghiệm của hptvậy hpt có nghiệm (x;y) = (2;2)

$\sqrt{2x+y}$ = a (ĐK: a >=0)ta có hpt:\begin{cases}\sqrt{5x+a^{2}} + a = 5\\ a +x = a^{2}-2x+2\end{cases}a + x = a^{2} - 2x (2)(1) <=> $\sqrt{5x+a^{2}}$ = 5 - a <=>5x + $a^{2}$ = $a^{2}$ - 10a + 25 <=>10a = 25 - 5x <=>a =$\frac{5-x}{2}$thay vào pt (2) rùi biến đổi(bạn chịu khó biến đổi đi nhé ^_^ )ta có:$x^{2}$ - 20x + 23 = 0=> X1 = 18,77496439(ko thỏa mãn vì thay vào a <0) X2 = 1,225035613 ( thỏa)từ đây thay vào ta tìm dc y

$\sqrt{2x+y}$ = a (ĐK: a >=0)ta có hpt:\begin{cases}\sqrt{5x+a^{2}} + a = 5 (1)\\ a +x = a^{2}-2x+2 (2)\end{cases}(1) <=> $\sqrt{5x+a^{2}}$ = 5 - a <=>5x + $a^{2}$ = $a^{2}$ - 10a + 25 <=>10a = 25 - 5x <=>a =$\frac{5-x}{2}$thay vào pt (2) rùi biến đổi(bạn chịu khó biến đổi đi nhé ^_^ )ta có:$x^{2}$ - 20x + 23 = 0=> X1 = 18,77496439(ko thỏa mãn vì thay vào a <0) X2 = 1,225035613 ( thỏa)từ đây thay vào ta tìm dc y

\sqrt{2x+y} = a (ĐK: a >=0)ta có hpt:\sqrt{5x+a^{2}} + a = 5 (1) a + x = a^{2} - 2x (2)(1) <=> \sqrt{5x+a^{2}} = 5 - a <=>5x + a^{2} = a^{2} - 10a + 25 <=>10a = 25 - 5x <=>a =\frac{5-x}{2}thay vào pt (2) rùi biến đổi(bạn chịu khó biến đổi đi nhé ^_^ )ta có:x^2 - 20x + 23 = 0=> X1 = 18,77496439(ko thỏa mãn vì thay vào a <0) X2 = 1,225035613 ( thỏa)từ đây thay vào ta tìm dc y

$\sqrt{2x+y}$ = a (ĐK: a >=0)ta có hpt:\begin{cases}\sqrt{5x+a^{2}} + a = 5\\ a +x = a^{2}-2x+2\end{cases}a + x = a^{2} - 2x (2)(1) <=> $\sqrt{5x+a^{2}}$ = 5 - a <=>5x + $a^{2}$ = $a^{2}$ - 10a + 25 <=>10a = 25 - 5x <=>a =$\frac{5-x}{2}$thay vào pt (2) rùi biến đổi(bạn chịu khó biến đổi đi nhé ^_^ )ta có:$x^{2}$ - 20x + 23 = 0=> X1 = 18,77496439(ko thỏa mãn vì thay vào a <0) X2 = 1,225035613 ( thỏa)từ đây thay vào ta tìm dc y