|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 26/05/2016
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 25/05/2016
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải phương trình $\sqrt{4-x^{2}}+2\sqrt[3]{x^{4}-4x^{3}+4x^{2}}=(x-1)^{2}-|x|+1$
|
|
|
|
Điều kiện của phương trình là $-2\leq x\leq2$.Dễ thấy rằng $|x|(2-|x|)\geq 0$, cho nên $|x|\geq \frac{x^2}{2}$. Từ đó suy ra $(x-1)^2-|x|+1\leq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (1).Cũng dễ thấy rằng $2\geq \sqrt{4-x^2}$ và $2-\sqrt[3]{x^2-2x}\geq0$. Từ đó suy ra $\sqrt{4-x^2}(1-\frac{\sqrt{4-x^2}}{2})+\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}(2-\sqrt[3]{x^2-2x})\geq0$;hay $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (2).Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq (x-1)^2-|x|+1$ (3).Với kết quả (3), phương trình trình đã cho kéo theo $|x|(2-|x|)=0$, hay $x=0\vee x=\pm2$.Thay trực tiếp các giá trị $x=0,x=2,x=-2$ vào phương trình đã cho thì thấy phương trình được thỏa mãn.Thành thử, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, đó là $x=0,x=2,x=-2$.
Điều kiện của phương trình là $-2\leq x\leq2$.Dễ thấy rằng $|x|(2-|x|)\geq 0$, cho nên $|x|\geq \frac{x^2}{2}$. Từ đó suy ra $(x-1)^2-|x|+1\leq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (1).Cũng dễ thấy rằng $2\geq \sqrt{4-x^2}$ và $2\geq \sqrt[3]{x^2-2x}$. Từ đó suy ra $\sqrt{4-x^2}(1-\frac{\sqrt{4-x^2}}{2})+\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}(2-\sqrt[3]{x^2-2x})\geq0$;hay $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq \frac{x^2}{2}-2x+2$ (2).Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{4-x^2}+2\sqrt[3]{x^4-4x^3+4x^2}\geq (x-1)^2-|x|+1$ (3).Với kết quả (3), phương trình trình đã cho kéo theo $|x|(2-|x|)=0$, hay $x=0\vee x=\pm2$.Thay trực tiếp các giá trị $x=0,x=2,x=-2$ vào phương trình đã cho thì thấy phương trình được thỏa mãn.Thành thử, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, đó là $x=0,x=2,x=-2$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT cổ điển! Chắc dễ...
|
|
|
|
Sử dụng một vài phép biến đổi và bất đẳng thức AM - GM cùng với C-S thì được$\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{(x+y)(x+z)+\frac{1}{x}}$ $=\frac{1}{4(\frac{(x+y)(x+z)}{4}+\frac{2}{27x})+\frac{19}{27x}}$ $\leq\frac{1}{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)}{4x^2}}+\frac{19}{27x}}$ $\leq\frac{1}{12.\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)}{4x^2}}+19.\frac{1}{27x}}$
$\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{12}{\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)}{4x^2}}}+\frac{19}{\frac{1}{27x}})$
$\leq\frac{1}{31^2}.(108\sqrt[3]{\frac{4x^2}{(x+y)(x+z)}}+513x)$
$\leq\frac{1}{31^2}.(36(\frac{2x}{x+y}+\frac{2x}{x+z}+1)+513x)$
$\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72x}{x+y}+\frac{72x}{x+z}+513x+36)$.
Suy ra $\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72x}{x+y}+\frac{72x}{x+z}+513x+36)$ (1). Chứng minh tương tự như trên thì được $\frac{1}{zx+xy+\frac{1}{y}}\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72y}{x+y}+\frac{72y}{y+z}+513y+36)$ (2);
$\frac{1}{xy+z+\frac{1}{z}}\leq\frac{1}{31^2}.(\frac{72z}{x+z}+\frac{72z}{y+z}+513z+36)$ (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế thì được $\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}+\frac{1}{zx+xy+\frac{1}{y}}+\frac{1}{xy+z+\frac{1}{z}}\leq \frac{27}{31}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z$. Tìm GTNN: $P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$
|
|
|
|
Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0<t\leq3$.Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 0$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Suy ra $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.
Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 4xy$. Suy ra$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$ $\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Cho nên $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$.Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$.Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$.Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z$. Tìm GTNN: $P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$
|
|
|
|
Giả sử $t=x+y+z$. Vì $x,y,z\geq 0$ và $P$ phải xác định nên $x+z>0$; suy ra $t>0$.Từ điều kiện đã cho suy ra $(x+y)^2+z^2=1,5+t$. Vì $(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên $\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$. Suy ra $t^2-2t-3\leq0$; suy ra $-1\leq t\leq3$. Vì $t>0$ nên $0 Dễ thấy rằng $4x^2+y^2\geq 4xy$. Suy ra $P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$ $\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$
$\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$.
Cho nên $P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$. Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$. Khi đó $f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$. Do đó $f$ nghịch biến trên $(0;3]$. Từ đó suy ra $f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$. Như vậy $P\geq \frac{33}{8}$. Đồng thời, khi lấy $x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và $P=\frac{33}{8}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{33}{8}$.
|
|