Ta có đánh giá quen thuộc:$$3xyz(x+y+z) \le (xy+yz+zx)^2~~~(*)$$Mặt khác ta lại có bổ đề sau:$$(x+y+z)(xy+yz+zx) \le \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)~~~(**)$$Thật vậy, chứng minh $(*)$ như sau:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:$(x+y+z)(xy+yz+zx)\\=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz\\ \le (x+y)(y+z)(z+x) +\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}=\dfrac{9}{8} (x+y)(y+z)(z+x)$Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra:$\sqrt[3]{ (\frac{9}{8})^4(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4} \ge \sqrt[3]{(x+y+z)^4.9x^2y^2z^2(x+y+z)^2}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4} \ge \frac{16}{3}(x+y+z) \sqrt[3]{(x+y+z)^3x^2y^2z^2}~~~(1)$Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $\frac{16}{3}(x+y+z) \sqrt[3]{(x+y+z)^3x^2y^2z^2} \ge \frac{16}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{27xyz.x^2y^2z^2}=16xyz(x+y+z)~~~(2)$Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra:$$16xyz(x+y+z) \le 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$$Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$.Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta có đánh giá quen thuộc:$$3xyz(x+y+z) \le (xy+yz+zx)^2~~~(*)$$Mặt khác ta lại có bổ đề sau:$$(x+y+z)(xy+yz+zx) \le \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)~~~(**)$$Thật vậy, chứng minh $(**)$ như sau:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:$(x+y+z)(xy+yz+zx)\\=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz\\ \le (x+y)(y+z)(z+x) +\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}=\dfrac{9}{8} (x+y)(y+z)(z+x)$Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra:$\sqrt[3]{ (\frac{9}{8})^4(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4} \ge \sqrt[3]{(x+y+z)^4.9x^2y^2z^2(x+y+z)^2}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4} \ge \frac{16}{3}(x+y+z) \sqrt[3]{(x+y+z)^3x^2y^2z^2}~~~(1)$Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $\frac{16}{3}(x+y+z) \sqrt[3]{(x+y+z)^3x^2y^2z^2} \ge \frac{16}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{27xyz.x^2y^2z^2}=16xyz(x+y+z)~~~(2)$Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra:$$16xyz(x+y+z) \le 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$$Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$.Vậy ta có điều phải chứng minh.