$P=4xy+yz+zx=4xy+z(x+y)\leq 2(x^2+y^2)+z\sqrt{2(x^2+y^2)} $ (1)
đặt t=$z^2 (0<t<1)$ thế vào (1)
$P\leq 2(1-t)+ \sqrt{2t(1-t)} =f(t)$
$f'(t)=\frac{1-2t}{\sqrt{2t(1-t)}}-2$
$f'(t)=0<=> t=t_{0}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}$
=> $f(t) $đồng biến trên $(0;t_{0})$ và nghick biến trên $(t_{0};1)$
=> $Max f(t)=f(\frac{3-\sqrt{6}}{6}) =\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
dđạt được khi$ z=\sqrt{t_{0}}$ và x=y