Ta có:$\sum_{x,y,z}\frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{9}{\sum_{x,y,z}\sqrt{x(y+z)}}$Mà:$\sum_{x,y,z}\sqrt{2x(y+z)}\leq \frac{1}{2}\sum_{x,y,z}(2x+y+z)=4(x+y+z)=36\sqrt{2}$Nên:$\sum_{x,y,z}\frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{1}{4}$Dấu$=$xảy ra khi và chỉ khi$x=y=z=6\sqrt{2}$.

Ta có:$\sum_{x,y,z}\frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{9}{\sum_{x,y,z}\sqrt{x(y+z)}}$Mà:$\sum_{x,y,z}\sqrt{2x(y+z)}\leq \frac{1}{2}\sum_{x,y,z}(2x+y+z)=2(x+y+z)=36\sqrt{2}$Nên:$\sum_{x,y,z}\frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \frac{1}{4}$Dấu$=$xảy ra khi và chỉ khi$x=y=z=6\sqrt{2}$.

KMTTQ, giả sử $a\geq b\geq c$. Đặt $P(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+4abc$Với mỗi $0\leq t\leq \min \{ \frac{1}{2}-a,b-c\}$ xét:$P(a+t,b-t,c)=(a+t)^3+(b-t)^3+c^3+4(a+t)(b-t)c$Khi đó $P(a,b,c)-P(a+t,b-t,c)=t(a-b+t)(4c-3a-3b)\leq 0$ hay $P(a,b,c)\leq P(a+t,b-t,c)$.Do đó $P(a,b,c)$ đạt giá trị lớn nhất khi $a=\frac{1}{2}$ hoặc khi $b=c$.Với $a=\frac{1}{2}$ thì $b+c=\frac{1}{2}$ và khi đó:$P=\frac{1}{8}+b^3+c^3+2bc$$=\frac{1}{8}+(b+c)(b^2-bc+c^2)+2bc$$=\frac{1}{8}+\frac{b^2+3bc+c^2}{2}\leq \frac{9}{32}$.Với $b=c$ thì $a=1-2b\Rightarrow \frac{1}{4}\leq b\leq \frac{1}{3}$. Khi đó:$P=(1-2b)^3+2b^3+4b^2(1-2b)=-16b^3+16b^2-6b+1=f(b)$.Khảo sát hàm số $f(b)$ trên $\left[ \frac{1}{4},\frac{1}{3}\right]$ ta được $f(b)\leq f\left( \frac{1}{4}\right)=\frac{9}{32}$.Tóm lại, $a^3+b^3+c^3\leq \frac{9}{32}$, dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ hoặc các hoán vị.

KMTTQ, giả sử $a\geq b\geq c$. Đặt $P(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+4abc$Với mỗi $0\leq t\leq \min \{ \frac{1}{2}-a,b-c\}$ xét:$P(a+t,b-t,c)=(a+t)^3+(b-t)^3+c^3+4(a+t)(b-t)c$Khi đó $P(a,b,c)-P(a+t,b-t,c)=t(a-b+t)(4c-3a-3b)\leq 0$ hay $P(a,b,c)\leq P(a+t,b-t,c)$.Do đó $P(a,b,c)$ đạt giá trị lớn nhất khi $a=\frac{1}{2}$ hoặc khi $b=c$.Với $a=\frac{1}{2}$ thì $b+c=\frac{1}{2}$ và khi đó:$P=\frac{1}{8}+b^3+c^3+2bc$$=\frac{1}{8}+(b+c)(b^2-bc+c^2)+2bc$$=\frac{1}{8}+\frac{b^2+3bc+c^2}{2}\leq \frac{9}{32}$.Với $b=c$ thì $a=1-2b\Rightarrow \frac{1}{4}\leq b\leq \frac{1}{3}$. Khi đó:$P=(1-2b)^3+2b^3+4b^2(1-2b)=-16b^3+16b^2-6b+1=f(b)$.Khảo sát hàm số $f(b)$ trên $\left[ \frac{1}{4},\frac{1}{3}\right]$ ta được $f(b)\leq f\left( \frac{1}{4}\right)=\frac{9}{32}$.Tóm lại, $a^3+b^3+c^3+4abc\leq \frac{9}{32}$, dấu$=$xảy ra khi và chỉ khi$(a,b,c)=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ hoặc các hoán vị.