Giả sử kích thước hình chữ nhật $ABCD$ là $a<b$ thì $ab=\sqrt{3}$.
Vì $AC$ và $BD$ tạo với nhau 1 góc $60^0$ nên $b=a\sqrt{3}$ suy ra $a=1,b=\sqrt{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $H$ lên $(ABCD)$ và $SH=h$.
Vì $SA$ tạo với $(ABCD)$ một góc $45^0$ nên $\Delta SAH$ vuông cân tại $H$, ta có $AH=h$.
Tương tự $BH=CH=DH=h$ nên $H$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ và $h=1$.
Ta có $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}h.S_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Trước hết ta tìm 3 chữ số $a>b>c>0$ sao cho $a+b+c=8$.
Vì $c\geq 1$ và $b\geq 2$ nên $a\leq 5$. Mà $a\geq 3$ nên $a$ nhận các giá trị là 3, 4, 5.
Nếu $a=3$ thì $b+c=5$, suy ra $b\geq 3$. TH này không xảy ra.
Nếu $a=4$ thì $b+c=4$ ta có $b=3,c=1$.
Nếu $a=5$ thì $b+c=3$ ta có $b=2,c=1$.
Tóm lại có 2 bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn là $(4,3,1)$ và $(5,2,1)$.
Với mỗi bộ số này, ta có 6 số có 3 chữ số thỏa mãn bài toán. Vậy có tất cả 12 số thỏa mãn bài toán. Có thể liệt kê như sau: 431, 413, 314, 341, 134, 143, 521, 512, 125, 152, 215, 251.

Gọi số vịt trong đàn là $n$ thì từ giả thiết ta có:
$n$ chia cho 2 dư 1 nên $n-19$ chia hết cho 2.
$n$ chia cho 3 dư 1 nên $n-19$ chia hết cho 3.
$n$ chia cho 5 dư 4 nên $n-19$ chia hết cho 5.
Do đó $n-19$ chia hết cho 30.
Với $n\leq 200$ ta có $n$ nhận các giá trị là 49, 79, 109, 139, 169, 199.
Dễ thấy chỉ có 49 thỏa mãn bài toán.

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn là $\overline{abcde}$.
Có $9$ cách chọn chữ số $a$ từ các chữ số $1,2,...,9$.
Có $9$ cách chọn chữ số $b$ từ các chữ số $0,1,...,9$ sao cho $b\neq a$.
Có $9$ cách chọn chữ số $c$ từ các chữ số $0,1,...,9$ sao cho $c\neq b$.
Có $9$ cách chọn chữ số $d$ từ các chữ số $0,1,...,9$ sao cho $d\neq c$.
 Có $9$ cách chọn chữ số $e$ từ các chữ số $0,1,...,9$ sao cho $e\neq d$.
 Vậy có tất cả $9^5=59049$ số có 5 chữ số thỏa mãn bài toán.

ĐKXĐ: $$\begin{cases} 2x^2+8x+6\geq 0 \\ x^2-1\geq 0\end{cases}$$ hay $x\leq -3 \vee x\geq 1.$
Nếu $\sqrt{2x^2+8x+6}=\sqrt{x^2-1}$ thì $x=-7$.
Nếu $\sqrt{2x^2+8x+6}\neq \sqrt{x^2-1}$ thì $x\neq -1,x\neq -7$ và từ phương trình đã cho ta có:
$$\frac{x^2+8x+7}{\sqrt{2x^2+8x+6}-\sqrt{x^2-1}}=2(x+1)$$
$$\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x+7)}{\sqrt{2x^2+8x+6}-\sqrt{x^2-1}}=2(x+1)$$
Vì $x+1\neq 0$ nên $\sqrt{2x^2+8x+6}-\sqrt{x^2-1}=\frac{x+7}{2}$. Kết hợp với pt ban đầu ta được:
$$4\sqrt{x^2-1}=3(x-1)$$
$$\Rightarrow 16(x+1)(x-1)=9(x-1)^2$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(7x+25)=0$$
$$\Leftrightarrow x=1 \vee x=\frac{-25}{7}$$
Hai nghiệm này thỏa mãn pt đã cho.

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$.
Ta có $\sqrt{2x\pm 2\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2x-1\pm 2\sqrt{2x-1}+1}=|\sqrt{2x-1}\pm 1|$
Phương trình đã cho tương đương với:
$|\sqrt{2x-1}+1|+|\sqrt{2x-1}-1|=2    (*)$
Nhận thấy $|\sqrt{2x-1}+1|$ là khoảng cách từ $\sqrt{2x-1}$ đến $-1$, $|\sqrt{2x-1}-1|$ là khoảng cách từ $\sqrt{2x-1}$ đến $1$, $2$ là khoảng cách ừ $-1$ đến $1$. Do đó vế trái của $(*)$ luôn lớn hơn hoặc bằng vế phải. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{2x-1} \in \left[ -1,1\right]$, ta suy ra $\frac{1}{2}\leq x\leq 1$. Đây là nghiệm của phương trình đã cho.

Số cách chọn 3 trong số 40 học sinh là $C_{40}^{3}=9880$. Trong đó, những cách chọn không thỏa mãn bài toán là cách chọn sao cho 2 trong số 3 học sinh là 1 cặp sinh đôi. Số cách chọn như vậy là $C_3^1.C_{38}^1=114$. Vậy số cách chọn thỏa mãn bài toán là $9766.$

Tìm $m$ để hệ

$$\begin{cases} x^2-2x+m-1\leq 0 \\ x^2+4x+3m-2\leq 0 \end{cases}$$

a) Có nghiệm.

b) Có nghiệm duy nhất.

c) Có tập nghiệm là đoạn thẳng có độ dài $1$.

Ta sẽ chứng minh bài toán trong trường hợp $\Delta ABC$ nhọn. Các trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự.
Bổ đề: Với điểm $M$ nằm trong $\Delta ABC$ ta kí hiệu $S_a=S_{MBC},S_b=S_{MCA},S_c=S_{MAB}$. Khi đó:
$$S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$ .

Chứng minh:
Vì $M$ nằm trong $\Delta ABC$ nên $S_a,S_b,S_c>0$.
Qua $A$ dựng các đường thẳng song song với $BM$ và $CM$, cắt $CM$ và $BM$ tương ứng tại $P$ và $Q$.
Ta có: $\frac{S_b}{S_a}\overrightarrow{MB}=\frac{S_{MCA}}{S_{MBC}} \overrightarrow{MB}=\frac{AT}{BT}\overrightarrow{MB}=\frac{AP}{BM}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AP}$.
Tương tự: $\frac{S_c}{S_a}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AQ}$.
Từ đó suy ra đpcm.
Trở lại bài toán:

Kí hiệu $S=S_{ABC}$. Từ bổ đề trên ta có: $\frac{S_a}{S}\overrightarrow{HA}+\frac{S_b}{S}\overrightarrow{HB}+\frac{S_c}{S}\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $\frac{S_a}{S}=\frac{HD}{BD}.\frac{BD}{AD}=\cot \widehat{BHD}.\cot \widehat{ABD}=\cot C.\cot B=\frac{1}{\tan B\tan C}$.
Tương tự: $\frac{S_b}{S}=\frac{1}{\tan C\tan A},\frac{S_c}{S}=\frac{1}{\tan A\tan B}$.
Từ đó suy ra đpcm.

Ta có: $1+3+5+...+(2n-1)=(1+2+...+2n)-2(1+2+...+n)=\frac{2n(2n+1)}{2}-2.\frac{n(n+1)}{2}=n^2$.
Do đó $\lim_{n \to \infty }{\left( \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2} \right)}=\lim_{n \to \infty}{n-\frac{2n+1}{2}}=\frac{1}{2}$.

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$ thì giả thiết trở thành:
$\frac{1}{ab}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{ab}$ hay $a+b=a^2+b^2-ab    (1)$
Bài toán trở thành: Tìm GTLN của $P=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)^2$.
Từ $(1)$ dễ thấy $(a+b)\geq 0$ và $2(a+b)=(a-b)^2+a^2+b^2\geq a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$.
Do đó $a+b\leq 4$ suy ra $P\leq 16$.
Vậy $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ đạt GTLN là $16$ khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$.

1. Ta có $A=x^2+y^2\geq x^2+y^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2-xy)=8$.
$3A\geq 3(x^2+y^2)-(x+y)^2=2(x^2+y^2-xy)=8$.
Vậy $\min A=\frac{8}{3}$, đạt được khi và chỉ khi $x=\frac{2}{\sqrt{3}},y=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=-\frac{2}{\sqrt{3}},y=\frac{2}{\sqrt{3}}$ và $\max A=8$ đạt được khi và chỉ khi $x=y=2$.

2. Ta có $B=(3x+y+1)^2+2y^2-11=0$ nên $A^2\leq 11$ suy ra $-\sqrt{11}\leq A\leq \sqrt{11}$.
$A$ đạt $\min$ khi và chỉ khi $x=\frac{-\sqrt{11}-1}{3},y=0$, $A$ đạt $\max$ khi và chỉ khi $x=\frac{\sqrt{11}-1}{3},y=0$.

 3. Ta có $36=5x^2+5y^2+8xy=A+4(x+y)^2\geq A$ nên $\max A=36$, đạt được khi và chỉ khi $x=3\sqrt{2},y=-3\sqrt{2}$ hoặc $x=-3\sqrt{2},y=3\sqrt{2}$.
 Ta có $9A=9(x^2+y^2)=36+4(x-y)^2\geq 36$ nên $\min A=4$, đạt được khi và chỉ khi $x=y=\sqrt{2}.$

Điều kiện: $xy\geq 0$. Lưu ý rằng $x+y=2$ nên $x,y\geq 0$.
Ta có:
$$4x^2+y^2=5(2x-y)\sqrt{xy}$$
$$\Leftrightarrow 4x^2-4xy+y^2-5(2x-y)\sqrt{xy}+4xy=0$$
$$\Leftrightarrow (2x-y)^2-5(2x-y)\sqrt{xy}+4\left( \sqrt{xy} \right)^2=0$$
$$\Leftrightarrow \left( 2x-\sqrt{xy}-y\right) \left( 2x-4\sqrt{xy}-y\right) =0$$
$$\Leftrightarrow \left( 2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right) \left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right) \left( \sqrt{2x}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{y} \right) \left( \sqrt{2x} -(\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{y}\right) =0$$
Vì $x,y\geq 0$ và $x+y=2$ nên ta suy ra $x=y$ hoặc $2x=(5+2\sqrt{6})y$.
Nếu $x=y$ thì ta được nghiệm $(1,1)$.
Nếu $2x=(5+2\sqrt{6})y$ thì ta được nghiệm $\left( \frac{22+8\sqrt{6}}{25},\frac{28-8\sqrt{6}}{25}\right)$.
Thử lại, đây là $2$ nghiệm của hệ ban đầu.