Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$\frac{m}{4^x}-\frac{2m+1}{2^x}+m+4=0.    (1)$
Đặt $\frac{1}{2^x}=t$ thì phương trình trở thành:
$f(t)=mt^2-(2m+1)t+m+4=0.    (2)$
Vì $m\neq 0$ nên $(2)$ là PT bậc 2 ẩn $t$.
PT $(1)$ có 2 nghiệm thỏa mãn $-1<x_1<0<x_2$ khi và chỉ khi PT $(2)$ có 2 nghiệm thỏa mãn $t_1<1<t_2<2$. Điều này tương đương với:
$\begin{cases} \Delta>0\\ mf(1)<0\\ mf(2)>0\\\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 1-12m>0\\3m<0\\ m(3m+2)>0\end{cases}\Leftrightarrow m<-\frac{2}{3}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $\begin{cases}u_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},\forall n\geq 1\end{cases}$
Ta sẽ chừng minh $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2.
Nghĩa là $u_n<u_{n+1}<2,\forall n\geq 1    (*).$
Dễ thấy $u_1<u_2<2$ nên $(*)$ đúng với $n=1$.
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$ nghĩa là $u_k<u_{k+1}<2$.
Suy ra $\sqrt{2+u_k}<\sqrt{2+u_{k+1}}<\sqrt{2+2}$ hay $u_{k+1}<u_{k+2}<2$.
Do đó $(*)$ đúng với $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp $(*)$ đúng với mọi $n$, khi đó dãy $(u_n)$ họi tụ đến $0<L\leq 2$.
Ta có: $L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L=2$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giả sử $O$ là điểm nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $S_{OBAD}=S_{OBCD}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ thì $S_{IBAD}=S_{IBCD}$.
Ta suy ra $S_{OBAD}=S_{IBAD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\Rightarrow S_{OBD}=S_{IBD}\Rightarrow OI//BD$.
Đảo lại, với điểm $O$ thuộc đường thẳng qua $I$ và song song với $BD$ thì $S_{OBAD}=S_{OBCD}$.

Ta có:
$\frac{6}{x}+\frac{3x}{2}\geq 6$
$\frac{10}{y}+\frac{5y}{2}\geq 10$
$\frac{x+y}{2}\geq 2$
Cộng 3 BĐT trên vế theo vế ta được:
$T=2x+3y+\frac{6}{x}+\frac{10}{y}\geq 18$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$4x^3-x^4=x^3(4-x)=\frac{1}{3}x.x.x(12-3x)\leq \frac{1}{3}.\left[ \frac{x+x+x+(12-3x)}{4}\right]^4=27$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=3.$

Dễ thấy $(a_n)$ là dãy tăng.
Giả sử $(a_n)$ bị chặn trên thì $\exists \lim a_n=L$.
Khi đó: $L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý).
Vậy $(a_n)$ không bị chặn hay $\lim a_n=+\infty.$
Ta có: $a_{n+1}^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}+2\Rightarrow a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}.$
Vì $\lim a_n=+\infty$ nên $\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)=2$.
Đặt $a_{n+1}^2-a_n^2=b_n$ ta được dãy $(b_n)$ thỏa mãn $\lim b_n=2$.
Áp dụng định lý trung bình Ceraso: $\lim \frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}=2$ hay $\lim \frac{a_{n+1}^2-a_1^2}{n}=2$.
Từ đó suy ra $\lim \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$.

Ta có: $2S=ah_a=bh_b=ch_c=r(a+b+c)$
$\Rightarrow a+b+c=2S\left( \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)$
Mặt khác: $a+b+c=\frac{2S}{r}\Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\geq \frac{9}{h_a+h_b+h_c}=\frac{1}{r}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $h_a=h_b=h_c\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Dãy số $(U_n)$ xác định bởi $\begin{cases} U_1=1\\ U_{n+1}=1+\sqrt{U_n},\forall n\end{cases}$
Chú ý rằng $U_2>U_1$, bằng quy nạp, ta chứng minh được $U_{n+1}>U_n$.
Cũng bằng quy nạp, ta chứng minh được $U_n<3,\forall n$.
Do đó $(U_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên bởi 3 nên hội tụ.
Giả sử $\lim_{n\to \infty}U_n=L$ thì $L=1+\sqrt{L}\Rightarrow L=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết