2)ĐK:$x;y\neq 0$
hpt$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2+xy-y^2=5\\ 2y^2+5xy-4x^2=-4 \end{array} \right.$
Vì $y\neq 0$ nên đặt $x=ty$ khi đó hệ trở thành:$\left\{ \begin{array}{l} t^2y^2+ty^2-y^2=5\\ 2y^2+5ty^2-4t^2y^2=-4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2(t^2+t-1)=5\\ y^2(-4t^2+5t+2)=-4\end{array} \right.$
Chia vế với vế ta đc : $-4(t^2+t-1)=5(-4t^2+5t+2)\Leftrightarrow 16t^2-29t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t=2\\ t=-3/16 \end{matrix}{} \right.$
+) $t=2\Leftrightarrow x=2y$ thay vào pt(1) đc : $5y^2=5\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}y=1\Rightarrow x=2\\ y=-1\Rightarrow x=-2 \end{matrix}{} \right.$(thỏa mãn )
+) $t=-3/16\Leftrightarrow x=\frac{-3y}{16}$ thay vào (1) đc: $\frac{-295y^2}{256}=5$(vô nghiệm)

Vậy hpt có 2 nghiệm

3)ĐK : $x\geq 0; y\geq 0$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x}=a\\ \sqrt{y} =b\end{array} (a;b\geq 0)\right.$
hệ đã cho trở thành $\left\{ \begin{array}{l} a^2b+b^2a=30\\ a^3+b^3=35 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ab(a+b)=30\\ (a+b)^3-3ab(a+b)=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ab(a+b)=30\\ (a+b)^3=35+90 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ab(a+b)=30\\ a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b=5\\ ab=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a=3;b=2 (*)\\ a=2;b=3 (**)\end{matrix}{} \right.$
+Ta có (*)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x}=3\\ \sqrt{y}=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=9\\ y=4 \end{array} \right.(thỏa )$
+ có (**)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=9 \end{array} \right.(thỏa )$
Vậy hpt có 2 nghiệm

1) Cộng từng vế 2 pt của hệ ta đc:
$xy.(x-y)+x^3-y^3=0\Leftrightarrow xy.(x-y)+(x-y)(x^2+xy+y^2)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)^2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=y\\ x=-y \end{matrix}{} \right.$
+)Với $x=y$ thay vào pt (1) ta đc $0= -2$( vô lí)$\Rightarrow$ hệ vô nghiệm
+) Với $x=-y$ thay vào pt (2) ta đc : $2y^3= -2\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=1$
Vậy hpt có 1 nghiệm

Ta có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=1$
$\Delta ABO$có $S=\frac{1}{2}OA.OB.sin\widehat{AOB}=\frac{1}{2}sin\widehat{AOB}$( vì $OA=OB=R=1$)
$\Rightarrow$diện tích tam giác ABO lớn nhất $\Leftrightarrow sin\widehat{AOB}$ lớn nhất$\Leftrightarrow sin\widehat{AOB}=1\Leftrightarrow \Delta ABO$vuông cân tại $O\Rightarrow d(O;d)=R.cos45^o=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{\left|m {} \right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left| m{} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=1\\m=-1 \end{matrix}{} \right.$
Vậy $\left[ \begin{matrix} (d):x+y+1=0 \\(d):x+y-1=0\end{matrix}{} \right.$

1)
pt$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(3cosx+cos3x)cos3x+\frac{1}{4}(3sinx-sin3x)sin3x=cos^34x$
$\Leftrightarrow 3(cosx.cos3x+sinx.sin3x)+cos^23x-sin^23x=4cos^34x$
$\Leftrightarrow 3cos2x+cos6x=4cos^34x$
$\Leftrightarrow 3cos2x+4cos^32x-3cos2x=4cos^34x$
$\Leftrightarrow cos^32x=cos^34x\Leftrightarrow cos2x=cos4x\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=4x+k2\pi\\ 2x=-4x+k2\pi\end{matrix}{} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-k\pi\\ x=\frac{k\pi}{3}  \end{matrix}{} \right.(k\in Z)$

2)
pt$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(3cosx+cos3x)sin3x+\frac{1}{4}(3sinx-sin3x)cos3x=sin^34x$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}sin3x.cosx+\frac{1}{4}sin3x.cos3x+\frac{3}{4}sinx.cos3x-\frac{1}{4}sin3x.cos3x=sin^34x$

$\Leftrightarrow 3(sin3x.cosx+cos3x.sinx)=4sin^34x$
$\Leftrightarrow 3sin4x-4sin^34x=0\Leftrightarrow sin12x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{12}$  $(k\in Z)$

1) Từ $M$ kẻ  $MK // BP$ ( với $K\in AC$ )$\Rightarrow$ Theo định lí Ta- lét ta có: $\frac{AI}{IM}=\frac{PA}{PK}=4$

Mặt khác xét $\Delta BPC$ có: $MK//BP,M$ là trung điểm của $BC$ nên $MK$ là đường trung bình của $\Delta BPC$
$\Rightarrow K$ là trung điểm của $PC\Rightarrow PK=\frac{PC}{2}\Rightarrow \frac{PA}{PK}=4\Leftrightarrow \frac{PA}{\frac{PC}{2}}=4\Leftrightarrow \frac{PC}{PA}=\frac{1}{2}$

ĐK: $2sinx+3cosx\neq 0$
pt$\Leftrightarrow 2cos^3x+4sin3x=2sinx.sin2x+3sin2x.cosx$
$\Leftrightarrow 2cos^3x+4(3sinx-4sin^3x)=4sin^2x.cosx+6sinx.cos^2x$
$\Leftrightarrow 2cos^3x-16sin^3x+12sinx(sin^2x+cos^2x)=4sin^2x.cosx+6sinx.cos^2x$
$\Leftrightarrow 2sin^3x+2sin^2x.cosx-3sinx.cos^2x-cos^3x=0$
+)Xét $cosx=0\Leftrightarrow sinx=1 hoặc sinx=-1$(thay vào pt ta thấy pt vô nghiệm)
+)Xét $cosx\neq 0$,Chia cả 2 vế của pt cho $cos^3x$ ta đc:
$2tan^3x+2tan^2x-3tanx-1=0$

Đến đây bạn giải pt bậc 3 tìm $tanx$ từ đó tìm $x$ rồi đối chiếu vs điều kiện và kết luận!

Vì $OM$ vuông góc vs $AB\Rightarrow M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$(đường kính vuông góc vs 1 dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy) $\Rightarrow$sđcung $AM=$sđcung $MB$
Mặt khác ta có $\widehat{MAC}=1/2$sđ cung $AM$(góc tạo bởi tia tiếp tuyến & dây cung =1/2 sđ cung bị chắn) lại có$\widehat{MAB}=1/2$sđ cung $MB$ nên suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MAB}\Rightarrow$điều phải chứng minh.

1) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^{o}\Rightarrow F$ và $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC \Rightarrow$ tứ giác $BFEC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ACF}$(cùng =$1/2$ sđ cung $EF$)
2) Xét đường tròn $(O)$ có :$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\Rightarrow$ sđ cung$AK$=sđ cung$AI\Rightarrow A$ là điểm chính giữa cung $IK\Rightarrow OA$ vuông góc với $IK$(đường kính đi qua điểm chính giữa của 1 cung thì vuông góc với dây căng cung ấy)

1) Kéo dài $BH$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $F$

pt$\Leftrightarrow (\frac{1+cos2x}{2})^{2}-(\frac{1+cos(\pi+2x)}{2})^{2}=sin2x$

b) Đk $\left\{ \begin{array}{l} sinx\neq 0\\ cos2x\neq 0\end{array} \right.$

c) pt$\Leftrightarrow 2tanx.sin2x+cot2x.sin2x=2sin^22x+1$

1)