$y=sin^6x+cos^6x=(sin^2x+cos^2x)^3-3sin^2x.cos^2x(sin^2x+cos^2x)$
=$1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x=1-\frac{3}{4}.\frac{(1-cos4x)}{2}$

$=1-\frac{3}{8}(1-cos4x)=1-\frac{3}{8}+\frac{3}{8}cos4x=\frac{5+3cos4x}{8}$
+)Vì $cos4x\geq -1\Rightarrow y\geq \frac{5+3.(-1)}{8}=1/4$
 dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow cos4x=-1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$($k\in Z)$
+)$cos4x\leq 1\Rightarrow y\leq \frac{5+3}{8}=1$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow cos4x=1\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}(k\in Z)$

Vậy...

+) Gọi M là trung điểm của BC
+)Ta có: $\overrightarrow{IA}(5;-7)\Rightarrow IA=\sqrt{74}$
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $(C)\Rightarrow (C):(x+2)^2+y^2=74$
Kéo dài $AI$ cắt đường tròn tại $D\Rightarrow I$ là trung điểm của $AD\Rightarrow D(-7;7)$
+)Xét tứ giác $BHCD$ có :$BH//CD$(vì cùng vuông góc với AC); $CH//DB$( vì cùng vuông góc với AB)
$\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành $\Rightarrow M$ là trung điểm của $HD$ và $BC$
Vì M là trung điểm của HD $\Rightarrow M(-2;3)\Rightarrow \overrightarrow{IM}(0;3)$ là vecto pháp tuyến của BC
$\Rightarrow BC:0(x+2)+3(y-3)=0\Rightarrow BC:y=3$
Ta có $BC $ cắt $(C)$ tại $B và C\Rightarrow $ Tọa độ B,C là nghiệm của hệ :$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=74 \\ y= 3\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}x=\sqrt{65}-2; y=3\\ x=-\sqrt{65} -2;y=3\end{matrix}} \right.$

$\Rightarrow B(-2-\sqrt{65};3),C(\sqrt{65}-2;3)$ (Vì C có hoành độ dương)

b)ĐK:$sin4x\neq 0$
pt$\Leftrightarrow \frac{-2cos2x}{sin2x}+2\frac{sin2x}{cos2x}+cot^34x=3$

$\Leftrightarrow \frac{2(sin^22x-cos^22x)}{sin2x.cos2x}+cot^34x=3$

$\Leftrightarrow \frac{-4cos4x}{sin4x}+cot^34x=3$
$\Leftrightarrow cot^34x-4cot4x-3=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} cot4x=-1\\ \begin{matrix} cot4x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\cot4x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix} \end{matrix}} \right.$
Đến đây dễ rồi bạn tự làm tiếp nhé !

a)
Vì $E$ là trung điểm của $AD\Rightarrow OE$ vuông góc vs$AM$ tại $E\Rightarrow\widehat{OEM} =90^o$
+)Xét tứ giác $OEBM$ có: $\widehat{OEM}=90^o$;$\widehat{OBM}=90^o\Rightarrow \Rightarrow $2 điểm $B$ và $E$ cùng nhìn cạnh $OM$ dưới 1 góc không đổi =$90^o\Rightarrow $ tứ giác $OEBM$ nội tiếp
b)
+)Xét $\Delta MBD$ và $\Delta MAB$ có :$\widehat{AMB}$ chung; $\widehat{MAB}=\widehat{MBD}$( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến &dây cung cùng chắn cung$DB$)
$\Rightarrow \Delta MBD$ đồng dạng vs $\Delta MAB\Rightarrow \frac{MB}{MA}=\frac{MD}{MB}\Leftrightarrow MB^2=MA.MD$

c)+)Gọi N là điểm chính giữa cung BC nhỏ , vì$OM$ vuông góc vs $BC$ nên $OM$ đi qua $N$
Xét $(O)$có $\widehat{BFC}=\frac{1}{2}sđ$ cung$BC$(góc nội tiếp =1/2 sđ cung bị chắn)
Mặt khác ta có $\widehat{MOC}=sđ cungNC=\frac{1}{2}sđ cung BC$ (vì N là đểm chính giữa cung BC)
$\Rightarrow \widehat{BFC}=\widehat{MOC}$

+)chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác $COEM$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{CEM}\Rightarrow \widehat{CEM=}\widehat{BFC}$( vì cùng = góc MOC) $\Rightarrow BF//AM$ (vì có 2 góc ở vị trí đồng vị = nhau)

3)
Ta có pt(2)$\Leftrightarrow x^2+y^2+2+2\sqrt{x^2y^2+(x^2+y^2)+1}=16$
Đặt $x^2+y^2=a$( $a\geq 0)$ và $xy=b\Rightarrow $ hệ đã cho tương đương với$\begin{cases}a-b=3(*) \\ a+2+2\sqrt{b^2+a+1}=16 (**)\end{cases}$
Từ $(*)\Rightarrow b=a-3$ thay vào $(**)$ ta đc:$2\sqrt{a^2-5a+10}=14-a\Leftrightarrow \begin{cases}a\leq 14 \\ 4(a^2-5a+10)=196-28a+a^2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a\leq 14 \\ \left[ {\begin{matrix} a=6\\ a=-26/3 \end{matrix}} \right. \end{cases}\Leftrightarrow a=6$( vì $a\geq 0$)$\Rightarrow b=3$
Với $\begin{cases}a=6 \\ b=3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=6 \\ xy= 3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)^2=12 \\ xy= 3\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x+y= 2\sqrt{3}\\ xy=3 \end{cases}\\ \begin{cases}x+y= -2\sqrt{3}\\ xy=3 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=y=\sqrt{3}\\ x=y=-\sqrt{3} \end{matrix}} \right.$

Vậy hpt có 2 nghiệm

b)
pt$\Leftrightarrow sin2x+(sinx+sin3x)-\sqrt{3}(cos2x+cosx+cos3x)=0$
$\Leftrightarrow sin2x+2sin2x.cosx-\sqrt{3}(cos2x+2cos2x.cosx)=0$
$\Leftrightarrow sin2x(2cosx+1)-\sqrt{3}cos2x(2cosx+1)=0$
$\Leftrightarrow (2cosx+1)(sin2x-\sqrt{3}cos2x)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} cosx=-1/2(*)\\ sin2x-\sqrt{3}cos2x=0 (**) \end{matrix}} \right.$
+) $(*)\Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi (k\in Z)$
+) $(**)\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=0\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi}{3})=0\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=k\pi$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$ ($k\in Z$)

Vậy pt có 3 họ nghiệm

a)
Vì $MN$ vuông góc vs $PQ$ tại $O$ nên $\widehat{EON}=90^o$; ta có $\widehat{EFN}=90^o$(góc nội tiếp chắn nửa đg tròn)
$\Rightarrow \widehat{EON}+\widehat{EFN}=180^o\Rightarrow $ tứ giác $OEFN$ nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối =$180^o$)

b)Vì $MN$ vuông góc vs $PQ$ tại $O\Rightarrow $ sđ các cung $MP,PN,NQ,QM$ bằng nhau$\Rightarrow \widehat{MFP}=\widehat{MFQ}$
+)Xét $\Delta MFP$ và $\Delta QFE$ có:$\begin{cases}\widehat{MFP} =\widehat{QFE} \\ \widehat{FMP}=\widehat{FQP}(2 góc nội tiếp cùng chắn cung PF) \end{cases}\Rightarrow \Delta MFP$ đồng dạng vs $\Delta QFE$
$\Rightarrow \frac{MF}{QF}=\frac{MP}{QE}\Rightarrow MF.QE=MP.QF$(đpcm)

c)+)Xét $(O)$có $\widehat{MFP}=\widehat{PFN}$ (2 góc nội tiếp chắn 2cung $MP=PN$)$\Rightarrow FP $ là đường p/giác $\widehat{MFN}$
+)Mặt khác ta có :$FP$ vuông góc vs $FQ$( vì$\widehat{PFQ}=90^o$) và $\widehat{GFM}+\widehat{MFN}=180^o$

mà $FP$ là đường p/g $\widehat{MFN}\Rightarrow FQ$ là đg p/g $\widehat{GFM}$(t/c đg p/g của 2 góc kề bù )

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Câu 3:ĐK:$cosx\neq 0$
pt$\Leftrightarrow \frac{sin^4x}{cos^4x}+1=\frac{(2-sin^22x).sin3x}{cos^4x}$

$\Leftrightarrow sin^4x+cos^4x=(2-sin^22x).sin3x$
$\Leftrightarrow (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x.cos^2x=(2-sin^22x).sin3x$
$\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}sin^22x=(2-sin^22x).sin3x$
$\Leftrightarrow 2-sin^22x=2(2-sin^22x).sin3x$
$\Leftrightarrow (2-sin^22x)(2sin3x-1)=0$

Câu 2)
pt$\Leftrightarrow 2sinx+2sinx.cos2x+sin2x=1+2cosx$
$\Leftrightarrow 2sinx+sin3x-sinx+sin2x=1+2cosx$
$\Leftrightarrow sinx+sin3x+sin2x=1+2cosx$
$\Leftrightarrow 2sin2x.cosx+sin2x=1+2cosx$
$\Leftrightarrow sin2x(2cosx+1)=1+2cosx$
$\Leftrightarrow (2cosx+1)(sin2x-1)=0$

Đến đây coi như xong!

Đổi $\alpha ,\beta $ thành $a,b$ cho dễ bạn nhé!

Ta có: $tan(a+b)=3\Leftrightarrow \frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}=3\Leftrightarrow \frac{tana+tanb}{1-2}=3\Leftrightarrow tana+tanb=-3$

Lại có $tana.tanb=2\Rightarrow tana, tanb$ là nghiệm của pt:$X^2+3X+2=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} tana=-1và tanb=-2(*)\\ tanb=-1 và  tana=-2(**)\end{matrix}{} \right.$
+)$(*)$ bị loại do $tan2a=\frac{2tana}{1-tan^2a}$ nên  $tan^2a\neq 1$
+)Với $tana=-2;tanb=-1\Rightarrow tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tana.tanb}=-1/3 $
   $tan2a=\frac{2tana}{1-tan^2a}=4/3$

ĐK :$\begin{cases}tanx\neq -1 \\ sinx\neq 0 \end{cases}$
pt$\Leftrightarrow \frac{cosx}{sinx}-1=\frac{cos2x}{1+\frac{sinx}{cosx}}+sin^2x-sinx.cosx$

$\Leftrightarrow \frac{cosx-sinx}{sinx}=\frac{cos2x.cosx}{cosx+sinx}+sinx(sinx-cosx)$

$\Leftrightarrow cos^2x-sin^2x=cos2x.sinx.cosx+sin^2x(sin^2x-cos^2x)$
$\Leftrightarrow cos2x=cos2x.sinx.cosx-sin^2x.cos2x$
$\Leftrightarrow cos2x(1-sinx.cosx+sin^2x)=0$

$\Leftrightarrow cos2x(1-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2})=0$

$\Leftrightarrow cos2x( cos2x+sin2x-3)=0$

Đến đây dễ rồi bạn tự giải tiếp  nhé!

2) Cách 2:
hệ đã cho $\Leftrightarrow \begin{cases} (a+b) +c=4 \\ ab +c(a+b)= 5\end{cases}(*)$
Đặt $\begin{cases}a+b=S \\ ab= P\end{cases} ( S^2\geq 4P)\Rightarrow (*)$ trở thành :$\begin{cases}S+c=4 \\ P+Sc=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=4-c\\ P+c(4-c)=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=4-c \\ P=c^2-4c+5\end{cases}$
Vì $S^2\geq 4P$ nên $(4-c)^2\geq 4(c^2-4c+5)\Leftrightarrow 3c^2-8c+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq c\leq 2$
Do vai trò của $a,b,c$ bình đẳng nên $\frac{2}{3}\leq a,b,c\leq 2$

Bài 4 tương tự

2) có pt(2) $\Leftrightarrow y^2=16x+16-5x^2$
Lại có (1) $\Leftrightarrow y^2+(16x+16-5x^2)-4xy-8y=0\Leftrightarrow y^2+y^2-4xy-8y=0$
$\Leftrightarrow 2y(y-2x-4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} y=0\\ y=2x+4 \end{matrix}{} \right.$
+) Với $y=0$ thay vào pt(2) ta đc: $-5x^2+16x+16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=4\\ x=-4/5 \end{matrix}{} \right.$
+)Với $y=2x+4$ thay vào pt(2) ta đc: $4x^2+16x+16=-5x^2+16x+16\Leftrightarrow 9x^2=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=4$
 
Vậy hệ pt có 3 nghiệm