$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-\sqrt{3} \sin 2x +2\cos^{2} x}dx$

dk : $x\geq 3$
dat $log_{3}(x-2)=t$(1)
va      $log_{4}(x^{2}-4x+3)=t$ (2)
tu (1) =>$x=3^{t} +2$
thay vao (2) ta co :$(3^{t}+2)^{2}-4(3^{t}+2)+3=4^{t}$
      <=>  $3^{2t}-2^{2t}=1$          (day la ham f(t))
xet $f(t)=3^{2t}-2^{2t}-1$
=> dao ham $f(t)=2.3^{2t}ln(3)-2.2^{2t}.ln(2) \geq 0$
day la ham dong bien
nhan thay $f(\frac{1}{2})$=0
=>$t=\frac{1}{2}$ la mot nghiem cua phuong trinh
voi $t>\frac{1}{2}$ va $t<\frac{1}{2}$ khong phai la nghiem cua phuong trinh

vay$t=\frac{1}{2}$ la nghiem cua phuong trinh
voi $t=\frac{1}{2}$ =>$x=\sqrt{3}+2$
vay phuong trinh co nghiem la: $x=\sqrt{3}+2$

$(\sqrt{10} +1)^{log_{3}x}  -(\sqrt{10} -1)^{log_{3}x} \geq \frac{2x}{3}$