Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,\,SA\perp (ABCD).$ Kẻ $AH,\,AI,\,AK$ lần lượt vuông góc với $SB,\,SC,\,SD.$
      a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp $S.ABCD$ là các tam giác vuông.
      b) Chứng minh: $BD\perp (SAC)$
      c) Chứng minh $AH$ và $AK$ cùng vuông góc với $SC$, suy ra $AH,\,AK,\,AI$ đồng phẳng.
       d) Chứng minh: $HK\perp (SAC)$, suy ra $HK\perp AI.$

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,OB,\,OC$ cùng vuông góc với nhau từng đôi một. Kẻ $OH\perp (ABC).$ Chứng minh:
       a) $AB\perp (OCH)$
       b) $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
       c) $\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$
        d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn

Cho tứ diện $ABCD.$ Chứng minh rằng:
    a) Nếu $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$ thì $AB\perp CD;\,AC\perp BD;\,AD\perp BC.$
    b) Nếu $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^o;\,\widehat{CAD}=90^o$ thì $IJ\perp AB;\,IJ\perp CD.$  (Với $I,\,J$ là trung điểm $AB,\,CD).$

1. Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $P,\,Q$ là các điểm thỏa $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD},\,\overrightarrow{QB}=k\overrightarrow{QC}\,\,\,\left(k\neq1\right)$
       a) Biểu diễn $\overrightarrow{PQ}$ theo $\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{DC}.$
       b) Chứng minh (bằng vecto lớp 10) rằng: $PQ$ luôn song song với một mặt phẳng cố định.

2 (*). Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Gọi $E,\,F,\,G,H$ là các điểm thỏa: $2\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0},\,2\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{0},\,2\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0},\,3\overrightarrow{CH}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}.$
       a) Chứng minh: $E,\,G,\,H$ thẳng hàng.
       b) $M,\,N$ xác định bởi $3\overrightarrow{AM'}=\overrightarrow{A'G},\,\overrightarrow{A'N}=x\overrightarrow{A'E}.$ Xác định $x$ để $C',\,M,\,N$ thẳng hàng.

1. Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC,\,\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC},\,\overrightarrow{b}=\overrightarrow{SB},\,\overrightarrow{c}=\overrightarrow{SG}.$ Phân tích $\overrightarrow{SA}$ theo $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}.$

2. Cho tứ diện $ABCD;\,\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AD}.$
      a) Biểu diễn $\overrightarrow{BC},\,\overrightarrow{CD},\,\overrightarrow{DB}$ theo $\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c},\,\overrightarrow{d}.$
      b) $M$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\overrightarrow{DM}$ theo $\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c},\,\overrightarrow{d}.$
      c) $G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c},\,\overrightarrow{d}.$

Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và $O$ là trung điểm $AG.$
a) Chứng minh: $3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
b) $M$ là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: $3MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 6MO^2+3OA^2 + OB^2+ OC^2 + OD^2$
c) Tìm quỹ tích $M$ sao cho: $3MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 =k^2 (k$ là hằng số)