Tìm các khoảng, nửa khoảng làm cho hàm số

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{4-x^2}{\sqrt{x+2}-2}(x>2)\\2x-20(x\leq 2) \end{array} \right.$$

liên tục.

Tìm các khoảng, nửa khoảng làm cho hàm số

$$f(x)=\sqrt{4-x^2}$$

liên tục.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to+\infty}\left(1-2x\right)\sqrt{\dfrac{3x-11}{x^3+1}}$$

Tìm các khoảng, nửa khoảng làm cho các hàm số sau đây liên tục:

  a) $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+7x+10}$

  b) $f(x)=\sqrt{4-x^2}$

  c) $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x^3+8}{x^2-4}(x>-2)\\-3(x=-2)\\\sqrt{x+3}-5(x<-5) \end{array} \right.$

  d) $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{4-x^2}{\sqrt{x+2}-2}(x>2)\\2x-20(x\leq 2) \end{array} \right.$

Tìm các giới hạn sau:

  a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\left(x+1\right)\sqrt{\dfrac{2x+1}{x^3+x+2}}$

  b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$

  c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to+\infty}\left(1-2x\right)\sqrt{\dfrac{3x-11}{x^3+1}}$

Sử dụng các kiến thức liên quan đến Đạo hàm, Hàm số và Tính đơn điệu của hàm số, hãy Chứng minh rằng: $$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}+x^2+2x+10>0,\,\,\,\forall x\geq 2$$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}=27-x^3 \\\left(x-2\right)^4+1=y \end{array} \right.$$

Cho tứ diện $ABCD$.

    a) $AB=CD=2a.\,E,\,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$ và $AD,$ biết $EF=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa $AB$ và $CD$.

    b) $AB=3,\,AC=4,\,AD=5,\,\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=60^0.$ Gọi $G $ là trọng tâm $\Delta BCD.$ Tính góc giữa $AB$ và $CD;\,AG$ và $C D$

    c) $AB=CD=a,\,BC=AD=b,\,AC=BD=c.$ Tính $\cos (AC,\,BD)$

Cho biết hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển $\left(x^{2}+\dfrac{1}{2x\sqrt[5]{n}} \right)^n$ bằng $70$. Hãy tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển đó.