Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $\Delta SAB$ cân tại $S$ và vuông góc $(ABCD),\,I,\,K$ là trung điểm của $AB,\,AD.$ Chứng minh:

   a) $(SAD)\perp(SAB)$

   b) $(SID)\perp (ABCD)$

   c) $(SID)\perp (SKC)$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y\\y+1=2x^2+2xy\sqrt{1+x} \end{array} \right.$$

Cho các số nguyên $x,\,y$ thỏa mãn: $4x+5y=7.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=5|x|-3|y|$$

Cho các số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=\dfrac{1}{6}.$ Chứng minh rằng: $$3+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{3c}+\dfrac{3c}{a}\geq a+2b+3c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}$$

Tính tổng: $$A=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2012^2}+\dfrac{1}{2013^2}}$$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+xy+1=4y\\ y\left(x+y\right)^2=2x^2+7y+2 \end{array} \right.$$

Giải phương trình: $$\dfrac{\sin^2x}{\cos x}+\dfrac{\sin^23x}{\cos3x}=\tan2x\left(\sin x+\sin3x\right)$$

Cho $x,\,y$ thỏa mãn điều kiện: $2(x^2+y^2)=xy+1.$ Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $$P=\dfrac{x^4+y^4}{2xy+1}$$

Cho $a,\,b,\,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}<2\left( \frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(a+c)(b+c)}+\frac{1}{(a+b)(a+c)}\right)$$

Cho $A,\,B,\,C$ là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng: $$\left( sin\dfrac{A}{2}\right)^{sin\frac{B}{2}}+\left( sin\dfrac{B}{2}\right)^{sin\frac{C}{2}}+\left( sin\frac{C}{2}\right)^{sin\frac{A}{2}}>1$$

Cho: $y=x^3-m\sqrt{3}x^2+x-5$

  a) Tính: $f'\left(m\sqrt{3}\right)$

  b) Tìm $m$ để $f'(x)>0\,\,\forall x\in\mathbb{R}$

Giải phương trình: $$\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0$$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}\left( {x^3  + y^3 } \right)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right)^3  = 27 \\ \left( {x^2  + y^2 } \right)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right)^2  = 9  \end{array} \right.$$

Giải bất phương trình sau trên tập số thực: $$ 2\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x^2}\leq \dfrac{x^4}{32}-x^2+5.$$