Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\left(y-x\right)\left(y+1\right)+\left(y^2-2\right)\sqrt{x+1}=1\\1+\sqrt{x+1}+2\sqrt{y+1}=y^2+2x\end{cases}$$

Gọi: $x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}\,\,(*)$
Điều kiện xác định: $\left[\begin{array}{l}x=0\\x\in\left[1;\,+\infty\right)\end{array}\right.$
Với $x=0$ là một nghiệm của phương trình đã cho
Với $x=1$ không là nghiệm của phương trình đã cho
Với $x>1,$ ta có: $$\sqrt{x^3-x^2}-\sqrt{x^2-x}=\dfrac{x^3-2x^2+x}{\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}}=\dfrac{x^2-2x+1}{x}\,\,(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)\Rightarrow 2\sqrt{x^3-x^2}=x^2-2x+1$
                              $\Leftrightarrow 4x^5-5x^4+4x^3-6x^2+4x-1=0$
                              $\Leftrightarrow \left(x-1\right)\underbrace{\left(4x^4-x^3+3x^2-3x+1\right)}_{>0}=0$
                              $\Leftrightarrow x=1\,\,\text{(loại)}$
Vậy: $x=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cho hai số thực dương $a;\,b.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+ab^2\ge\sqrt{3\left(1+a^2+b^2\right)}$$

Không tính toán, hãy chứng tỏ rằng: $P=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5$ chia hết cho $3.$