Cho $x,\,y,\,z>0.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\dfrac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{3zx}{(y+z)(y+x)}\geq \dfrac{5}{3}$$

Cho $a+b+c\leq3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a+1+a\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b+1+b\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c+1+c\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$

Cho $x,\,y,\,z\in\left[1;\,3\right].$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{36x}{yz}+\dfrac{2y}{xz}+\dfrac{z}{xy}$$

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=8.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{1}{2a+b+6}+\dfrac{1}{2b+c+6}+\dfrac{1}{2c+a+6}$$

Giải bất phương trình: $$\dfrac{6x^2}{\left(\sqrt{2x+1}+1\right)^2}>\left(2x+\sqrt{x-1}+1\right)$$

Cho tập $E=\left\{1;\,2;\,3;\,4;\,5\right\}.$ Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập $E.$ Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số $5.$

Giải phương trình: $$\left(\tan x+1\right)\sin^2x+\cos2x+2= 3\left(\cos x+\sin x\right)\sin x$$

Giải phương trình: $$2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$$

Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1.$ Chứng minh rằng: $$P=ab+bc+ca\leq \dfrac{3}{4}$$

Giải phương trình: $$\dfrac{2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)+2\sin2x}{\cos x}=4\cos4x$$

Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$ đường kính $AB=2R.$ Lấy điểm $C$ thuộc đường tròn $(O)$, với $C\not\equiv  A,\,B.$ Lấy điểm $D$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $ (O),$ với $D\not\equiv B,\,C.$ Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $B$ cắt các đường thẳng $AC,\,AD$ theo thứ tự tại các điểm $M,\,N.$

       a) Chứng minh tứ giác $CDNM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

       b) Chứng minh $AD.AN=AC.AM=4R^2.$

       c) Vẽ đường kính $CE$ của nửa đường tròn $(O).$ Vẽ đường kính $CF$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CDNM.$ Chứng minh ba điểm $D,\,E,\,F$ thẳng hàng.

Nếu cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể (chưa có nước) trong thời gian $1$ giờ $12$ phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong $20$ phút và vòi thứ hai chảy trong $45$ phút thì chỉ được $\dfrac{5}{12}$ bể.

Khi mở riêng từng vòi. Tính thời gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể.

Cho các hàm số $y=2x^2$ có đồ thị là $(P);\,y=kx=-2$ có đồ thị là $d$ (với $k$ là tham số thực)

   a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số đã cho

   b) Tìm $k$ để điểm $M(x_M;\,y_M)$ thuộc cả hai đồ thị $(P)$ và $d$ đã cho, biết $y_M=2$ và $x_M>0$

Cho phương trình $x^2+2x-2m=0$ (với $x$ là ẩn số, $m$ là tham số thực)

     a) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

     b) Cho $m$ là số thực dương. Gọi $x_1,\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, biết $x_1>x_2.$ Tính $U=\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$ theo $m.$

Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{a^2}\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right)}{\sqrt{a^2-2a+1}}$ (với $a\in\mathbb{R}$ và $a\geq 2)$

    a) Rút gọn biểu thức $ P$

    b) Chứng minh rằng nếu $a$ là số thực và $a\geq 2$ thì $P\geq 4$